1. Định nghĩa
Cho một số \[k \ne 0\] và vec tơ\[\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}\].
Tích của một số k với vec tơ\[\overrightarrow{a}\]là một vec tơ , kí hiệu là \[k\overrightarrow{a}\]
+] cùng hướng với\[\overrightarrow{a}\]nếu \[k > 0\]
+] ngược hướng với\[\overrightarrow{a}\] nếu \[k< 0\]
+] có độ dài bằng \[|k|.\left | \overrightarrow{a} \right |\]
Quy ước:\[0\,.\overrightarrow a = 0,\;\,k.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \]
2. Tính chất
a] Phân phối với phép cộng vec tơ:
\[k [\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}] = k \overrightarrow{a}+ k\overrightarrow{b}\]
b]Phân phối với phép cộng các số:
\[[h+k]\overrightarrow{a} = h \overrightarrow{a} +k\overrightarrow{a}\]
c] Kết hợp:
\[h[k\overrightarrow{a}] = [h.k]\overrightarrow{a}\]
d] \[1. \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}\]; \[[-1]\overrightarrow{a}= -\overrightarrow{a}\]
3. Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
a] Nếu \[I\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] thì với mọi điểm \[M\] ta có
\[\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}\]
b] Nếu \[G\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\] thi mọi điểm \[M\] ta có
\[\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}= 3\overrightarrow{MG}\]
4. Điều kiện để hai vec tơ cùng phương
Điều kiện cần và đủ để hai vec tơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] [\[\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \]]cùng phương là có một số \[k\] để\[\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}\].
Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để \[\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \].
5. Phân tích một vec tơ thành haivec tơ không cùng phương
Cho hai vec tơ\[\overrightarrow{a}\]và\[\overrightarrow{b}\]không cùng phương. Khi đó mọi vec tơ\[\overrightarrow{x}\]đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vec tơ\[\overrightarrow{a}\],\[\overrightarrow{b}\], nghĩa là có duy nhất một cặp số \[h, k\] sao cho\[\overrightarrow{x}= h\overrightarrow{a}+ k\overrightarrow{b}\].
Khi đó ta nói vecto \[\overrightarrow{x}\] được phân tích [ hay biểu thị] theo hai vecto không cùng phương là\[\overrightarrow{a}\],\[\overrightarrow{b}\].