Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Cho hình nón tròn xoay có đường cao \[h = 20 cm\], bán kính đáy \[r = 25 cm\].
LG a
a] Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Phương pháp giải:
Diện tích xung quanh của hình nón:\[{S_{xq}} = \pi rl\] trong đó \[r\] là bán kính đáy và \[l\] là độ dài đường sinh của hình nón.
Lời giải chi tiết:
Giả sử \[SB= l\] là độ dài đường sinh, \[SO = h\] là chiều cao hình nón.
Trong tam giác vuông \[SOB\] ta có:
\[\eqalign{
& S{B^2} = S{O^2} + O{B^2} \cr&= {h^2} + {r^2} = {20^2} + {25^2} = 1025 \cr
& \Rightarrow SB = \sqrt {1025} \cr}\]
Diện tích xung quanh hình nón là:
\[{S_{xq}} = \pi rl \]\[= \pi .25\sqrt {1025} \approx 2514,5\left[ {c{m^2}} \right]\]
LG b
b] Tính thể tích của khối nón được tạo bởi hình nón đó.
Phương pháp giải:
Thể tích của khối nón:\[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\] trong đó \[r\] là bán kính đáy và \[h\] là độ dài đường cao của hình nón.
Lời giải chi tiết:
Thể tích khối nón là:
\[V = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {.25^2}.20\]\[ \approx 13083,3\left[ {c{m^3}} \right]\]
LG c
c] Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là \[12 cm\]. Tính diện tích thiết diện đó.
Phương pháp giải:
Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác cân. Tính diện tích tam giác cân\[S = \frac{1}{2}ah\].
Lời giải chi tiết:
Giả sử thiết diện \[SAB\] đi qua đỉnh \[S\] cắt đường tròn đáy tại \[A\] và \[B\]. Gọi \[I\] là trung điểm của dây cung \[AB\]. Từ tâm \[O\] của đáy vẽ \[OH\] vuông góc với \[SI\].
Ta có \[\left\{ \matrix{
AB \bot OI \hfill \cr
AB \bot SO \hfill \cr} \right. \Rightarrow AB \bot \left[ {SOI} \right] \]\[\Rightarrow AB \bot OH\]
Từ đó \[\left\{ \matrix{
OH \bot AB \hfill \cr
OH \bot SI \hfill \cr} \right. \Rightarrow OH \bot \left[ {SAB} \right] \]\[\Rightarrow OH = 12cm\]
Trong tam giác vuông \[SOI\] ta có: \[{1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{I^2}}} + {1 \over {O{S^2}}}\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow {1 \over {O{I^2}}} = {1 \over {O{H^2}}} - {1 \over {O{S^2}}} \cr
& = {1 \over {{{12}^2}}} - {1 \over {{{20}^2}}} = {{256} \over {57600}} = {1 \over {225}} \cr
& \Rightarrow OI = 15cm \cr} \]
Xét tam giác vuông \[OAI\] ta có \[AI^2= OA^2 OI^2= 25^2 15^2= 20^2\]
Vậy \[AI = 20cm\]\[\Rightarrow AB = 20.2 = 40\,cm\]
Ta có: \[SI.OH = SO.OI \]\[\Rightarrow SI = {{SO.OI} \over {OH}} = {{20.15} \over {12}} = 25cm\]
Vậy diện tích thiết diện \[SAB\] là: \[{S_{SAB}} = {1 \over 2}SI.AB \]\[= {1\over2}25.40 = 500\left[ {c{m^2}} \right]\]