Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:
LG a
Elip đi qua các điểm \[M[0; 3]\] và \[N[ 3; \dfrac{-12}{5}].\]
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng: \[\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\]
Thay tọa độ các điểm M, N thuộc ellip vào phương trình ellip để tìm a và b
Lời giải chi tiết:
Phương trình chính tắc của elip có dạng: \[\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\]
Elip đi qua \[M[0; 3]\]
\[\dfrac{0^{2}}{a^{2}} + \dfrac{3^{2}}{b^{2}}= 1 \] \[\Leftrightarrow \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1\] \[\Rightarrow b^2= 9\]
Elip đi qua \[N[ 3; \dfrac{-12}{5}]\]
\[\dfrac{3^{2}}{a^{2}} + \dfrac{\left[\dfrac{-12}{5}\right]^{2}}{9} = 1\] \[\Leftrightarrow \dfrac{9}{{{a^2}}} = \dfrac{9}{{25}}\]\[ \Rightarrow a^2= 25\]
Phương trình chính tắc của elip là :\[\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\]
LG b
Một tiêu điểm là \[F_1[-\sqrt3; 0]\] và điểm \[M[1; \dfrac{\sqrt{3}}{2}]\] nằm trên elip.
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng: \[\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\]
+] Từ tiêu điểm F ta suy ra được c.
+] Sử dụng công thức \[c^2=a^2-b^2.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[{F_1}\left[ { - \sqrt 3 ;0} \right] \Rightarrow - c = - \sqrt 3 \] \[ \Leftrightarrow c = \sqrt 3 \] \[ \Rightarrow c^2=3\]
Elip đi qua điểm \[M[1; \dfrac{\sqrt{3}}{2}]\]
\[\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{\left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]^{2}}{b^{2}}= 1 \] \[ \Rightarrow \dfrac{1}{a^{2}}+ \dfrac{3}{4b^{2}}= 1\] [1]
Mặt khác: \[ c^2=a^2-b^2\]
\[\Rightarrow3 = a^2-b^2\Rightarrowa^2=b^2+ 3\]
Thế vào [1] ta được :\[\dfrac{1}{b^{2}+ 3} + \dfrac{3}{4b^{2}} = 1\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{4{b^2} + 3{b^2} + 9}}{{4{b^4} + 12{b^2}}} = 1\\
\Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2}\\
\Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{b^2} = 1\left[ {TM} \right]\\
{b^2} = - \dfrac{9}{4}\left[ {loai} \right]
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {a^2} = {b^2} + 3 = 1 + 3 = 4
\end{array}\]
Phương trình chính tắc của elip là :\[\dfrac{x^{2}}{4} + \dfrac{y^{2}}{1}= 1\]