Đề bài
Cho hình thang \[ABCD [AB//CD]\]. Gọi \[O\] là giao điểm của hai đường chéo \[AC\] và \[BD\].
a] Chứng minh rằng \[OA.OD = OB.OC\].
b] Đường thẳng qua \[O\] vuông góc với \[AB\] và \[CD\] theo thứ tự tại \[H\] và \[K\].
Chứng minh rằng\[\dfrac{OH}{OK} = \dfrac{AB}{CD}\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng
- Định lí: Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.
- Định lí: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đô đồng dạng
- Tính chất hai tam giác đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a] Vì \[AB // CD\] [giả thiết]
Áp dụng định lí:Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.
\[ \Rightarrow AOBCOD\]
\[\Rightarrow \dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}\][tính chất hai tam giác đồng dạng]
\[ \Rightarrow OA.OD = OC.OB\]
b] Theo câu a] ta có\[ AOBCOD\] nên\[\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{AB}{CD}\] [1]
Xét \[AOH\] và \[COK\] có:
\[\widehat{AHO} = \widehat{CKO}= {90^o}\]
\[\widehat {HOA} = \widehat {K{\rm{O}}C}\] [đối đỉnh]
\[ \Rightarrow AOH COK\] [g-g]
\[\Rightarrow \dfrac{OH}{OK}= \dfrac{OA}{OC}\] [2][tính chất hai tam giác đồng dạng]
Từ [1] và [2] \[\Rightarrow \dfrac{OH}{OK} = \dfrac{AB}{CD}\]