Đề bài
Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình 111 [đơn vị: cm]
a] Tìm một hệ thức giữa \[x\] và \[h\] khi \[AA'\] có độ dài không đổi và bằng \[2a.\]
b] Với điều kiện ở a] hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết theo \[x\] và \[a.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Diện tích xung quanh hình trụ bán kính \[r\] và chiều cao \[h\] là: \[S_{xq}=2 \pi rh.\]
+]Thể tích hình trụ bán kính \[r\] và chiều cao \[h\] là: \[V=\pi r^2h.\]
+] Diện tích mặt cầu bán kính \[r\] là: \[S=4 \pi r^2.\]
+] Thểtích mặt cầu bán kính \[r\] là: \[V=\dfrac{4}{3} \pi r^3.\]
Lời giải chi tiết
a] Ta có: \[AA = AO + OO + OA\]
hay \[2a = x + h + x\]
Vậy \[h + 2x = 2a.\]
b] - Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là \[x\], chiều cao là \[h\] và diện tích mặt cầu có bán kính là \[x\].
- Diện tích xung quanh của hình trụ: \[{S_{trụ}} = {\rm{ }}2\pi xh\]
- Diện tích mặt cầu:\[{S_{cầu}} = {\rm{ }}4\pi {x^2}\]
Nên diện tích bề mặt của chi tiết máy là:
\[S{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{trụ}} + {S_{cầu}}= 2\pi xh{\rm{ }} + 4\pi {x^{2}}\]
\[ = 2\pi x\left[ {h + 2x} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}4\pi ax.\]
Thể tích cần tìm gồm thể tích hình trụ và thể tích hình cầu. Ta có:
\[{V_{trụ}}{\rm{ }} = \pi {x^2}h\]
\[\displaystyle {V_{cầu}} = {4 \over 3}\pi {x^3}\]
Nên thể tích của chi tiết máy là:
\[\displaystyle V = {V_{trụ}} + {V_{cầu}} = \pi {x^2}h + {4 \over 3}\pi {x^3}\]
mà \[h+2x=2a\] [câu a] nên \[h=2a-2x=2[a-x]\]
\[ \Rightarrow V \displaystyle = 2\pi {x^2}[a - x] + {4 \over 3}\pi {x^3} = 2\pi {x^2}\left[ {a - {1 \over 3}x} \right].\]