Bài tập các công thức lượng giacs cơ bản

Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,41,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,congthuctoan,9,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,112,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,279,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,17,Đề cương ôn tập,39,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,982,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,20,Đề thi học kì,134,Đề thi học sinh giỏi,126,Đề thi THỬ Đại học,399,Đề thi thử môn Toán,64,Đề thi Tốt nghiệp,45,Đề tuyển sinh lớp 10,100,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,221,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,35,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,196,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,363,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,206,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,108,Hình học phẳng,91,Học bổng - du học,12,IMO,12,Khái niệm Toán học,66,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,28,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,303,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,24,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thống kê,2,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,79,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,149,Toán 11,179,Toán 12,391,Toán 9,67,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,22,Toán Tiểu học,5,toanthcs,6,Tổ hợp,39,Trắc nghiệm Toán,222,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,

Tailieumoi.vn xin giới thiệu Bài tập Toán lớp 11 Công thức lượng giác, được sưu tầm và biên soạn theo chương trình học của 3 bộ sách mới. Bài viết gồm 20 bài tập với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài tập Toán 11. Ngoài ra, bài viết còn có phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết Công thức lượng giác. Mời các bạn đón xem:

Bài tập Toán 11 Công thức lượng giác

1. Bài tập Công thức lượng giác

Bài 1. Tính sin2a và tan2a biết cos a = 14 và 3π2

Hướng dẫn giải

Vì 3π2

Ta có:

sin2a + cos2a = 1 ⇒ sin2a = 1 – cos2a = 1 - \= 1516

⇒ sina = −154.

Ta có: sin2a = 2sina cosa = 2..14 \= -158

Ta có: tana = sinacosa=−15

⇒tan2a=2tana1−tan2a\=\=\=−215−14=157.

Bài 2. Tính

1. sin biết sin a = 34 và 0 < a < π2;

2. cos3π8.cosπ8 + sin3π8.sinπ8.

Hướng dẫn giải

1. Vì 0 0.

Ta có: sin2a + cos2a = 1 ⇒ cos2a = 1 – sin2a = 1-\=716

⇒ cosa = null.

Vậy sin\=sinacosπ3−cosasinπ3=34.12−74.32=3−218 .

Suy ra: cos3π8.cosπ8+sin3π8.sinπ8=24+24=22.

Bài 3. Tính

1. cos(–15°) + cos255°;

2. sin13π24sin5π24.

Hướng dẫn giải

1. Ta có:

cos(-15o) + cos255o = 2.cos−15°+255°2.cos−15°−255°2

\= 2.cos120o.cos(135o) = 2

Vậy cos(–15°) + cos255° = 22.

2. Ta có:

Vậy sin13π24sin5π24=1+24.

Bài 4. Rút gọn biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

⇔ P=−2sinx

Vậy P = −2sin x.

Bài 5. Chứng minh rằng: cosα−sinα=2cos(α+π4).

Hướng dẫn giải

Ta có:

Bài 6. Cho sinα=13 và π2<α<π. Tính các giá trị lượng giác của góc 2α.

Hướng dẫn giải

Do π2<α<π ⇒ cos α < 0.

Ta có: cos2α=1−sin2α=89

⇒ cosα=−223 (do cos α < 0).

tan2α=sin2αcos2α=−429.97=−427.

cot2α=1tan2α=−728.

Bài 7. Tính α + β biết tanα=25, tanβ=37.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức cộng đối với tang, ta được:

Vậy α+β=π4.

Bài 8. Cho cos2a=−45, với π4

Hướng dẫn giải

Vì π4 0, cosa > 0.

• Áp dụng công thức hạ bậc, ta được: sin2a=1−cos2a2=1+452=910

Suy ra sina=310 (do sina > 0)

• Áp dụng công thức hạ bậc, ta được: cos2a=1+cos2a2=1−452=110.

Suy ra cosa=110.

• Áp dụng công thức cộng đối với sin, ta được:

\=310.12+110.32=30+31020.

• Áp dụng công thức nhân đôi, ta được:

sin2a=2sinacosa=2.310.110=35.

• Áp dụng công thức cộng đối với côsin, ta được:

Bài 9. Chứng minh rằng:

1. cos3x.sinx−sin3x.cosx=14sin4x;

Hướng dẫn giải

1. VT = cos3x.sinx – sin3x.cosx

\= cosx.sinx.(cos2x – sin2x)

\=12sin2x.cos2x

\=14sin4x \= VP.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 10. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:

1. sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC2;

2. sinA+sinBcosA+cosB=cotC2;

3. sin2A+sin2B+sin2C=2SR2, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và S là diện tích ∆ABC.

Hướng dẫn giải

∆ABC, có: A^+B^+C^=180°, suy ra A^+B^=180°−C^

Do đó A^+B^2=90°−C^2.

2. VT=sinA+sinBcosA+cosB=2sinA+B2cosA−B22cosA+B2cosA−B2

Vậy ta có điều phải chứng minh.

3. VT = sin2A + sin2B + sin2C

\= 2sin(A + B).cos(A – B) + 2sinC.cosC

\= 2sin(180° – C).cos(A – B) + 2sinC.cosC

\= 2sinC.cos(A – B) + 2sinC.cosC

\= 2sinC.[cos(A – B) + cosC]

\= 2sinC.[cos(A – B) + cos(180° – A – B)]

\= 2sinC.[cos(A – B) – cos(A + B)]

\= –4sinC.sinA.sin(–B)

\= 4sinA.sinB.sinC

\=4.a2R.b2R.c2R=abc4R.2R2=2SR2=VP.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

2. Lý thuyết Công thức lượng giác

1. Công thức cộng

cos (a – b) = cosa cosb + sina sinb

cos (a + b) = cosa cosb – sina sinb

sin (a – b) = sina cosb – cosa sinb

sin (a + b) = sina cosb + cosa sinb

tan (a-b) = tana−tanb1+tanatanb

tan (a+b) = tana+tanb1-tanatanb

(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

Ví dụ: Không dùng máy tính, hãy tính sin và tan 15°.

Hướng dẫn giải

Ta có

sin \= -sin7π6 \= -sin

\= -sinπcosπ6 - cosπsinπ6 \= -0.32 - (-1).12 \= 12.

Ta có

tan15o \= tan(60o - 45o) = tan60°−tan45°1+tan60°.tan45°

\=3−11+3.1=3−13+1=2−3

2. Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina cosa

cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2 – 1 = 1 – 2sin2a

tan2a = 2tana1−tan2a.

Chú ý: Từ công thức nhân đôi suy ra công thức hạ bậc:

cos2a=1+cos2a2

sin2a=1−cos2a2.

Ví dụ: Biết sinα = 25 và 0 < α < π2 . Tính sin2α ; cos2α và tan2α.

Hướng dẫn giải

Vì 0 < α < π2 nên cosα > 0.

Ta có:

sin2α + cos2α = 1 ⇒ cos2α = 1 – sin2α = 1-\= 2125

⇒ cosα = 215.

Ta có: sin2α = 2sinα cosα = 2.25.215=42125

cos2α = 1 – 2sin2α = 1 - 2.\= 1725

tanα=sinαcosα=22121

⇒ tan2α=2tanα1−tan2α=\=42117.

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

cosacosb = 12[cos(a-b) + cos(a+b)]

sinasinb = 12[cos(a-b) - cos(a+b)]

sinacosb = 12[sin(a-b) + sin(a+b)].

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức

1. A = sin7π12cos5π12;

2. B = sinπ12sin7π12.

Hướng dẫn giải

1. Ta có:

Vậy A = 14.

2. Ta có:

Vậy B = 14 .

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

cosu + cosv = 2cosu+v2cosu-v2

cosu - cosv = -2sinu+v2sinu-v2

sinu + sinv = 2sinu+v2cosu-v2

sinu - sinv = 2cosu+v2sinu-v2.

Ví dụ: ChoA = cosπ17.cos4π17 và B = cos3π17 + cos5π17. Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức AB.

Hướng dẫn giải

Ta có:

B = cos3π17 + cos5π17 \= 2.cos3π17+5π172.cos3π17−5π172

\= 2.cos4π17.cos \= 2cos4π17.cosπ17.

Suy ra AB=cosπ17.cos4π17cos3π17+cos5π17=cosπ17.cos4π172cos4π17.cosπ17=12 .

Video bài giảng Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác - Kết nối tri thức