Bài 42 sbt toán 9 tập 1 trang 163 năm 2024
|
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và compa, hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn (O) sao cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O). Giải: * Phân tích Giả sử tiếp tuyến AB và AC cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán. Ta có: AB ⊥ OB \(\widehat {ABO} = 90^\circ \) \(AC \bot OC \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \) Tam giác ABO có \(\widehat {ABO} = 90^\circ \) nội tiếp trong đường tròn đường kính AO và tam giác ACO có \(\widehat {ACO} = 90^\circ \) nội tiếp trong đường tròn đường kính AO. Suy ra B và C là giao điểm của đường tròn đường kính AO với đường tròn (O). * Cách dựng − Dựng I là trung điểm của OA. − Dựng đường tròn ( I; IO) cắt đường tròn (O) tại B và C. − Nối AB, AC ta được hai tiếp tuyến cần dựng. * Chứng minh Tam giác ABO nội tiếp trong đường tròn (I) có OA là đường kính nên: \(\widehat {ABO} = 90^\circ \) Suy ra: AB ⊥ OB tại B nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O). Tam giác ACO nội tiếp trong đường tròn (I) có OA là đường kính nên : \(\widehat {ACO} = 90^\circ \) Suy ra: AC ⊥ OC tại C nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) * Biện luận Luôn dựng được đường tròn tâm I, cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B và C và luôn có AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O). Câu 43 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn (O) đi qua A và B, nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến. Giải: * Phân tích − Giả sử dựng được đường tròn (O) qua A, B và tiếp xúc với d. Khi đó đường tròn (O) phải tiếp xúc với d tại A. − Đường tròn (O) đi qua A và B nên tâm O nằm trên đường trung trực của AB. − Đường tròn (O) tiếp xúc với d tại A nên điểm O nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại điểm A. * Cách dựng − Dựng đường thẳng trung trực của AB. − Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với d. Đường thẳng này cắt đường trung trực của AB tại O. − Dựa đường tròn ( O; OA) ta được đường tròn cần dựng. * Chứng minh Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB. Khi đó đường tròn (O; OA) đi qua hai điểm A và B. Ta có: OA vuông góc với d tại A nên d là tiếp tuyến của (O). Vậy (O) thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 44 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B ; BA) và đường tròn (C ; CA), chúng cắt nhau tại điểm D (khác A). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B). +) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.) * Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ. * Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra. * Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài Lời giải chi tiết * Phân tích Giả sử tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán. Ta có: \(AB ⊥ OB\) \(\Rightarrow\widehat {ABO} = 90^\circ \) \(AC \bot OC \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \) Tam giác \(ABO\) có \(\widehat {ABO} = 90^\circ \) nội tiếp trong đường tròn đường kính \(AO\) và tam giác \(ACO\) có \(\widehat {ACO} = 90^\circ \) nội tiếp trong đường tròn đường kính \(AO.\) Suy ra \(B\) và \(C\) là giao điểm của đường tròn đường kính \(AO\) với đường tròn \((O).\) * Cách dựng − Dựng \(I\) là trung điểm của \(OA.\) − Dựng đường tròn \(( I; IO)\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(B\) và \(C.\) − Nối \(AB, AC\) ta được hai tiếp tuyến cần dựng. * Chứng minh Tam giác \(ABO\) nội tiếp trong đường tròn \((I)\) có \(OA\) là đường kính nên: \(\widehat {ABO} = 90^\circ \) Suy ra: \(AB ⊥ OB\) tại \(B\) nên \(AB\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\) Tam giác \(ACO\) nội tiếp trong đường tròn \((I)\) có \(OA\) là đường kính nên : \(\widehat {ACO} = 90^\circ \) Suy ra: \(AC ⊥ OC\) tại \(C\) nên \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) * Biện luận Luôn dựng được đường tròn tâm \(I,\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại hai điểm \(B\) và \(C\) và luôn có \(AB, AC\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \((O).\) |
