So sánh chỉnh hợp và tổ hợp năm 2024

Toán Tổ hợp hay giải tích Tổ hợp, đại số tổ hợp và lý thuyết tổ hợp là một ngành toán học rời rạc nghiên cứu về cấu hình của một tập hữu hạn phần tử, bao gồm: Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp,… của các phần tử trong một tập hợp. Khi nhắc tới 2 khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp khiến học sinh gặp khó khăn. Phân biệt hai khái niệm trên khá mơ hồ, nhiều bạn chưa rõ nên áp dụng công thức tổ hợp hay chỉnh hợp để làm bài tập. Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi tìm hiểu sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp để biết cách sử dụng chính xác nhé.

Định nghĩa về Chỉnh hợp

Cho 1 tập hợp A gồm n phần tử (1≤ k ≤ n )

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A, sắp xếp chúng theo 1 thứ tự nào đó được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

Kí hiệu chỉnh hợp: Akn là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1≤ k ≤ n )

Akn = n! / (n−k)! = n.(n−1).(n−2).(n−3)… / (n−k ).(n – k – 1).(n – k – 2)….

Với k = n ⇒ Ann = Pn = n! Tức là 1 hoán vị của n phần tử cũng chính là 1 chỉnh hợp hợp chập n của n phần tử đó.

Quy ước chỉnh hợp: 0! = 1

Định nghĩa về Tổ hợp

Tập A có n phần tử ( n ≥ 0, k ≥ 0). Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Kí hiệu như sau: Ckn: Là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n )

Ckn = n! / k!.(n−k)!

Số k ở trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện (1 ≤ k ≤ n ). Tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng vì vậy ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

Quy ước: C0n = 1

Trên đây là những lý thuyết cơ bản về tổ hợp và chỉnh hợp. Trong quá trình học nhiều bạn học sinh thấy khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp cứ giống giống nhau và không phân biệt được khi nào là chỉnh hợp và khi nào là tổ hợp. Nếu bạn cũng gặp phải vấn đề này hãy tham khảo ngay thông tin dưới đây.

Sự khác nhau giữa Chỉnh hợp và Tổ hợp

Về khái niệm của Chỉnh hợp:

Ta lấy ra k phần tử trong n phần tử của tập A. Từ k phần tử lấy ra ta sắp xếp chúng theo 1 thứ tự nào đó, mỗi cách sắp xếp như vậy ta được 1 chỉnh hợp.

Ví dụ: Ta lấy ra 3 số là 1; 2; 3, từ 3 số này ta lại sắp xếp thành các số có 3 chữ số. Kết quả là ta có là: 123; 231; 132; 213; 312; 321. Với việc thay đổi vị trí ta lại có được các số khác nhau và mỗi số đó là 1 chỉnh hợp.

Về khái niệm Tổ hợp:

Lấy ra tập hợp con gồm k phần từ trong n phần tử của tập A. Trong khái niệm tập hợp thì ra không phân biệt vị trí và thứ tự của những phần tử trong đó, ta chỉ quan tâm xem trong tập đó có bao nhiêu phần tử thôi. Mỗi khi lấy ra 1 tập hợp con gồm k phần tử sẽ cho ta 1 tổ hợp.

Cũng ví dụ trên:

Ta lấy ra 3 phần tử là các số 1; 2; 3, ta đặt các số này vào những vị trí khác nhau trong tập con, chúng ta sẽ có các tập con sau:

A = {1;2;3}; B = {1;3;2}; C = {2;1;3}; D = {2;3;1}; E = {3;1;2}; F = {3;2;1}

Đặt các số vào những vị trí khác nhau ta được các tập con khác nhau. Như ví dụ trên chúng ta có 6 tập con gồm A; B; C; D; E; F nhưng vẫn là các phần tử là 1; 2 và 3. Vì thế 6 tập con trên bằng nhau, tức là chúng chỉ là một và đó là tổ hợp. Trong tập hợp thì không phân biệt vị trí của những phần tử mà chỉ quan tâm trong tập đó gồm những phần tử nào, còn chỉnh hợp phân biệt cả vị trí và thứ tự. Vì vậy, các bạn sẽ thấy số chỉnh hợp bao giờ cũng nhiều hơn số tổ hợp.

Cho tập hợp A, gồm n phần tử (n>=1). Một cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Công thức hoán vị:

\[P_n = n! = 1.2.3...(n-1).n\]

Kí hiệu hoán vị của n phần tử: \(P_n\).

Ví dụ về hoán vị:

Hỏi: Cho tập A = {3, 4, 5, ,6, 7}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt?

Đáp: \(P_5 = 5! = 120\) số.

Chỉnh hợp

Định nghĩa chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ gồm k (1 <= k <= n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập hợp A.

Công thức chỉnh hợp:

\[{A_n^k} = n.(n-1)...(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}\]

Kí hiệu chỉnh hợp chập k của n phần tử: \({A_n^k}\).

Ví dụ về chỉnh hợp:

Hỏi: Có bao nhiêu cách xếp ba khách Minh, Thông, Thái vào hai chỗ ngồi cho trước?

Đáp: \({A_3^2} = \frac{3!}{(3-2)!} = 3! = 6\) cách.

Tổ hợp

Định nghĩa tổ hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một tập con của A, gồm k phần tử phân biệt (1 <= k <= n), được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.

Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp:

• Chỉnh hợp là bộ sắp có thứ tự: ví dụ, {a,b,c}, {a,c,b}, …
• Tổ hợp là bộ sắp không có thứ tự: ví dụ, {a,b,c} –> ok. Trong khi đó {a,c,b} và các cách sắp thứ tự kiểu khác của {a,b,c} không được tính là tổ hợp.

Các công thức tổ hợp (k, n đều hợp lệ): \({C_n^k} = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n.(n-1)...(n-k+1)}{k!}\)

\[{C_n^k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] \[{C_n^k} = {C_n^{n-k}}\] \[{C_n^k} = {C_{n-1}^{k} + {C_{n-1}}{k-1}}\] \[{C_n^k} = \frac{n{C_{n-1}^{k-1}}}{k}\]

Quy ước: \({C_n^0} = 1\).

Ví dụ tổ hợp:

Hỏi: Ông X có 11 người bạn. Ông ta muốn mời 5 người trong số họ đi chơi xa. Trong 11 người đó có 2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ông X có bao nhiêu cách mời?

Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau như thế nào?

Chỉnh hợp là bộ sắp có thứ tự: ví dụ, {a,b,c}, {a,c,b}, … Tổ hợp là bộ sắp không có thứ tự: ví dụ, {a,b,c} –> đúng. Trong khi đó {a,c,b} và các cách sắp thứ tự kiểu khác của {a,b,c} không được tính là tổ hợp.

PN trọng toán học là gì?

“Pn” là hoán vị dạng lặp có cấp “n” với kiểu (n1,n2,…, nk) của số lượng “k” phần tử. n = n1 + n2 +….. + nk: Số phần tử. “n1” là số lượng phần tử “a1” có cấu trúc giống nhau.

Hoán vị kí hiệu là gì?

Và hoán vị được kí hiệu bằng chữ P, là viết tắt của "permutation". Hoán vị, tức là trường hợp k = n; tuy nhiên tiếng Anh vẫn sử dụng cụm từ "k-permutations of n" với nghĩa "chỉnh hợp chập k của n phần tử". Với k ≤ n, tiếng Anh dùng "partial permutation", tức "hoán vị một phần".

Tổ hợp chấp k của n là gì?

Theo định nghĩa, tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử bằng với hệ số nhị thức.