hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z-i =5 và z^2 là số thuần ảo

Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: \(|z i| = 5\) và \({z^2}\) là số thuần ảo?

A. 1

B. 0

C. 4

D. 2

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

Gọi số phức cần tìm là \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\), thay vào các hệ thức trong bài và tìm \(a,b \Rightarrow z\) .

Số phức \(z = a + bi\) là thuần ảo nếu a = 0 .

Công thức tính mô đun số phức \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) .

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z = a + bi\) ta có \({z^2} = {a^2} {b^2} + 2abi\) .

Vì \({z^2}\) là số thuần ảo nên ta có \({a^2} {b^2} = 0\) (1)

Từ điều kiện \(|z i| = 5 \Leftrightarrow |a + bi i| = 5 \Leftrightarrow {a^2} + {(b 1)^2} = 25\) (2)

Lấy (2) trừ (1) vế với vế ta được \({(b 1)^2} + {b^2} = 25 \Leftrightarrow 2{b^2} 2b 24 = 0 \Leftrightarrow {b^2} b 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 4}\\{b = 3}\end{array}} \right.\)

Với b = 4 , từ (1) có \(a = \pm 4\)

Với b = -3 , từ (1) có \(a = \pm 3\)

Do đó có 4 số phức z thỏa mãn bài toán.

Chọn C