Đề thi toán ứng dụng cơ khí spkt

Hóa Đại Cương - Lý thuyết - Bài tập, thực hành - Đề thi

Vật Lý 1 - Lý thuyết - Bài tập, thực hành - Đề thi

Kỹ Thuật Số - Lý thuyết - Bài tập, thực hành - Đề thi

Vi Xử Lý - Lý thuyết - Bài tập, thực hành - Đề thi

Toán 3 - Lý thuyết - Bài tập, thực hành - Đề thi

Matlab - Lý thuyết - Bài tập, thực hành - Đề thi

Vật Lý 2 - Lý thuyết - Bài tập, thực hành - Đề thi

Toán 2 - Lý thuyết - Bài tập, thực hành - Đề thi

Plc - Lý thuyết - Bài tập, thực hành

Kỹ Thuật Điện - Lý thuyết - Bài tập, thực hành - Đề thi

Vật Lí 1- Bài tập, thực hành - Đề thi

Môn: Toán Ứng Dụng Cho Kỹ Sư Điện – Điện Tử Mã môn học: AMEE Đề số/Mã đề: 1/1A. Đề thi có 2 trang. Thời gian: 90 phút. Được phép sử dụng tài liệu.

Câu 1 : (2,0 điểm) Cho 2 ma trận A và B như sau :

1. Giải phương trình AX = B để tìm ma trận X. b. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A. Câu 2 : ( 2,0 điểm) Dùng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân với giả thiết y 1 (0) = 1, y 2 (0) = 0 :

Câu 3 : (3,0 điểm) Cho mạch điện như hình 1. Biết rằng L = 1H, R = 6, C = 1/9F, iL(0) = 0, uC(0) = 2V. Nguồn v(t) = 2cos(t) V nếu 0 < t <và v(t) = 0 nếu t >

Hình 1 a. Tìm V(s) và IL(s) b. Suy ra iL(t) khi t > 0.

Câu 4: (2,0 điểm) Cho tín hiệu tuần hoàn f(t) được xác định trong 1 chu kỳ như hình 2

Hình 2 Hãy tìm các hệ số a 0 , an, bnvà chuỗi fourier của f(t).

Câu 5: (1,0 điểm) Hãy tìm phần thực và phần ảo của hàm f(z) = e1/z.

Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.













tyy

yy ' cos

'

2

0

21

21















31

52

A 









 



12

64

B

Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang 2 /

Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung kiểm tra [CĐR 2]: Có khả năng thực hiện các phép toán với ma trận.

Câu 1

[CĐR 2]: Sử dụng được phép biến đổi Laplace và Laplace ngược để giải hệ phương trình vi phân.

Câu 2

[CĐR 2; 2]: Có khả năng mô hình hóa bài toán mạch điện bằng phương trình vi phân. Ứng dụng biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược để phân tích bài toán mạch điện.

Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM

KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN
BOÄ MOÂN TOAÙN

ÑEÀ THI MOÂN: TOAÙN ÖÙNG DUÏNG TRONG KYÕ THUAÄT

Maõ moân hoïc: MATH131501 Thôøi gian laøm baøi: 90 phuùt
Ñeà thi goàm 1 trang
Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu

Baøi 1 (2,5 ñieåm) Một vật khối lượng m (kg) rôi theo phöông thaúng ñöùng với vận tốc ban đầu
v0 (m/s) trong môi trường có sức cản không khí tyû leä vôùi vaän toác (heä soá tyû leä k ), và gia tốc trọng
trường g (m/s2). Bieát vaän toác v(t ) (m / s ) cuûa vaät thoûa phöông trình phöông trình vi phaân
v ' (t ) = g −

k
v (t ) , v ( 0 ) = 0
m

Cho g = 10, m = 0,5 , k = 4.
a) Áp dụng phương pháp Ơle vôùi h = 0,1 , tính v(0,2) ≈ (1) và v(0,5) ≈ (2)
b) Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến, vôùi h = 0,1 , tính v(0,2) ≈ (3) và v(0,6) ≈ (4). Từ kết quả
đó suy ra gia tốc tại điểm t = 0,2s là v ' (0,2) ≈ (5).
Baøi 2 (2 ñieåm) (trong baøi naøy chuùng ta boû qua ñôn vò)
Một vật chuyển ñoäng thẳng treân truïc 0 x từ a đến b dưới tác động của ngoại lực biến thiên F(x) cùng
hướng chuyển ñoäng của vật. Khi đó công W của lực F(x) được tính bôûi coâng thöùc
b

W = ∫ F ( x ) dx
a

Cho a = 0, b = 1,2 và F ( x) = x x + 1 .
a) Áp dụng công thức hình thang 3 đoạn chia. Khi đó W ≈ (6) với sai số tuyệt đối Δ ≤ (7).
b) Áp dụng công thức Simpson 4 đoạn chia: y2 = F(x2) = (8), W ≈ (9).
Baøi 3 (1,5 ñieåm) (trong baøi naøy chuùng ta boû qua ñôn vò)
Khảo sát độ bền uốn y(x) cuûa moät loaïi vaät lieäu bằng cách tác động cùng một(loaïi)lực lên cùng một
diện tích bề mặt của các miếng vaät lieäu giống nhau có bề dày x thay ñoåi. Chúng ta có baûng số liệu
x
y

0,1
515

0,2
518

0,3
522

0,4
525

0,5
528

0,6
531

Áp dụng phương pháp Bình phương bé nhất với dạng phương trình y = A + B x , suy ra A = (10) và
B= (11). Dự đoán y khi x = 0,25 là y( 0,25 ) = (12)
Baøi 4 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phaân
t

y (t ) = 12e −5t + 5∫ y (u ) cos 2(t − u )du
0

Baøi 5 (2,5 ñieåm) Cho phöông trình vi phaân
y ' ' (t ) + 6 y ' (t ) + 18 y (t ) = 3 sin 2t , y (0) = 0 , y ' (0) = 0

a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân treân.
b) Giaû söû y (t ) laø phöông trình chuyeån ñoäng thaúng cuûa moät chaát ñieåm theo thôøi gian t. Xaùc ñònh giaù
trò (gaàn ñuùng) cuûa bieân ñoä chuyeån ñoäng khi t ñuû lôùn.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.
Ngaøy 5 thaùng 6 naêm 2014
Boä moân duyeät

Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM

KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN
BOÄ MOÂN TOAÙN

ÑEÀ THI MOÂN: TOAÙN ÖÙNG DUÏNG TRONG KYÕ THUAÄT

Maõ moân hoïc: MATH131501 Thôøi gian laøm baøi: 90 phuùt
Ñeà thi goàm 1 trang
Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu

Baøi 1 (2,5 ñieåm) Một vật khối lượng m (kg) rôi theo phöông thaúng ñöùng với vận tốc ban đầu
v0 (m/s) trong môi trường có sức cản không khí tyû leä vôùi vaän toác (heä soá tyû leä k ), và gia tốc trọng
trường g (m/s2). Bieát vaän toác v(t ) (m / s ) cuûa vaät thoûa phöông trình phöông trình vi phaân
v ' (t ) = g −

k
v (t ) , v ( 0 ) = 0
m

Cho g = 10, m = 1, k = 3.
a) Áp dụng phương pháp Ơle vôùi h = 0,1 , tính v(0,2) ≈ (1) và v(0,5) ≈ (2)
b) Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến, vôùi h = 0,1 , tính v(0,2) ≈ (3) và v(0,6) ≈ (4). Từ kết quả
đó suy ra gia tốc tại điểm t = 0,2s là v ' (0,2) ≈ (5).
Baøi 2 (2 ñieåm) (trong baøi naøy chuùng ta boû qua ñôn vò)
Một vật chuyển ñoäng thẳng treân truïc 0 x từ a đến b dưới tác động của ngoại lực biến thiên F(x) cùng
hướng chuyển ñoäng của vật. Khi đó công W của lực F(x) được tính bôûi coâng thöùc
b

W = ∫ F ( x ) dx
a

Cho a = 0, b = 1,2 và F ( x) = x x + 1 .
a) Áp dụng công thức hình thang 3 đoạn chia. Khi đó W ≈ (6) với sai số tuyệt đối Δ ≤ (7).
b) Áp dụng công thức Simpson 4 đoạn chia: y2 = F(x2) = (8), W ≈ (9).
Baøi 3 (1,5 ñieåm) (trong baøi naøy chuùng ta boû qua ñôn vò)
Khảo sát độ bền uốn y(x) cuûa moät loaïi vaät lieäu bằng cách tác động cùng một (loaïi)lực lên cùng một
diện tích bề mặt của các miếng vaät lieäu giống nhau có bề dày x thay ñoåi. Chúng ta có baûng số liệu
x
y

0,1
415

0,2
421

0,3
428

0,4
435

0,5
438

0,6
441

Áp dụng phương pháp Bình phương bé nhất với dạng phương trình y = A + B x , suy ra A = (10) và
B= (11). Dự đoán y khi x = 0,25 là y( 0,25 ) = (12)
Baøi 4 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phaân
y (t ) = 12e

−5t

t

+ 5∫ y (u ) cos 2(t − u )du
0

Baøi 5 (2,5 ñieåm) Cho phöông trình vi phaân
y ' ' (t ) + 6 y ' (t ) + 18 y (t ) = 3 sin 2t , y (0) = 0 , y ' (0) = 0

a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân treân.
b) Giaû söû y (t ) laø phöông trình chuyeån ñoäng thaúng cuûa moät chaát ñieåm theo thôøi gian t. Xaùc ñònh giaù trò
(gaàng ñuùng) cuûa bieân ñoä chuyeån ñoäng khi t ñuû lôùn.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.
Ngaøy 5 thaùng 6 naêm 2014
Boä moân duyeät

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT
Mã môn: MATH131501
Bảng trả lời bài 1, 2, 3:
Đề 1: (Bài 1: m = 0,5 ; k = 4)
Câu
Đáp án
Điểm
Câu
(1) v(0,2) ≈ 1,2
0,5
(7)
(2) v(0,5) ≈ 1,2496
0,5
(8)
(3) v(0,2) ≈ 0,912
0,5
(9)
(4) v(0,6) ≈ 1,225287
0,5
(10)
(5) v’(0,2) ≈ 2,704
0,5
(11)
(6) W ≈ 0,97456
0,5
(12)

Đáp án
Δ ≤ 0,016
y2 = F(x2) = 0,7589
W ≈ 0,96276
A ≈ 502,97126
B ≈ 35,37548
y(0,25) ≈ 520,659

Điểm
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

Đề 2: (Bài 1: m = 1 ; k = 3)
Câu
Đáp án
(1) v(0,2) ≈ 1,7
(2) v(0,5) ≈ 2,7731
(3) v(0,2) ≈ 1,48325
(4) v(0,6) ≈ 2,76341
(5) v’(0,2) ≈ 5,55025
(6) W ≈ 0,97456

Đáp án
Δ ≤ 0,016
y2 = F(x2) = 0,7589
W ≈ 0,96276
A ≈ 395,62652
B ≈ 59,62675
y(0,25) ≈ 425,439895

Điểm
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

Điểm
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

Câu
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)

Ngày thi: 6/6/2014

Bài 4: AÙp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi
y (t ) = 12e −5t + 5 y (t ) * cos 2t

Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] , vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình vaø aùp duïng ñònh lyù Borel

ta ñöôïc

Y=

12
p
+ 5Y 2
p+5
p +4

(0,5 ñieåm)

(*)
12( p 2 + 4)
A
B
C
=
+
+
(0,5 ñieåm)
( p + 5)( p − 1)( p − 4) p + 5 p − 1 p − 4
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc ta ñöôïc
y (t ) = Ae −5t + Be t + Ce 4t (0,25 ñieåm)
Töø ñaúng thöùc (*) tính ñöôïc A = 58/9 , B = -10/3 , C = 80/9 (0,25 ñieåm)

Bài 5:
a) Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] , bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình vaø aùp duïng tính chaát
ñaïo haøm goác ta ñöôïc
6
(0,5 ñieåm)
p 2Y + 6 pY + 18Y = 2
p +4
6
⇔Y=
(0,5 ñieåm)
2
( p + 4)[( p + 3) 2 + 9]

⇔Y =

=

Ap + 2 B C ( p + 3) + 3D
Ap
2B
C ( p + 3)
3D
+
= 2
+
(0,5 ñieåm)
+ 2
+
2
2
2
p +4
( p + 3) + 9
p + 4 p + 4 ( p + 3) + 9 ( p + 3) 2 + 9

Bieán ñoåi Laplace ngöôïc ta ñöôïc
y (t ) = A cos 2t + B sin 2t + e −3t (C cos 3t + D sin 3t )
với A = -9/85 , B = 21/170 , C = 9/85 , D = 2/85

b)

Khi t đủ lớn: e −3t (C cos 3t + D sin 3t ) ≈ 0 , ñaët sin α =
Khi ñoù y (t ) ≈ A cos 2t + B sin 2t = A2 + B 2 sin(α + 2t )

A
A2 + B 2

(0,25 ñieåm)
(0,25 ñieåm)

∧ cos α =

A 2 + B 2 , với A = -9/85 , B = 21/170



Heát

A2 + B 2

(0,25)

Ñaây laø phöông trình chuyeån ñoäng cuûa dao ñoäng ñieàu hoøa coù bieân ñoä dao ñoäng laø
Vaäy biên độ chuyển động gần bằng

B

A2 + B 2
(0,25 ñieåm)