- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Áp dụng định nghĩa giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số, tìm các giới hạn sau :
LG a
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1} \]
Phương pháp giải:
Giới hạn phải
Giả sử hàm số \[{\rm{f}}\] xác định định trên khoảng \[\left[ {{x_o};b} \right]\]. Ta nói rằng hàm số \[{\rm{f}}\] có giới hạn bên phải là số thực \[L\] khi \[x\] tiến về \[{x_o}\] nếu mọi dãy \[\left[ {{x_n}} \right]\] trong khoảng \[\left[ {{x_o};b} \right]\] mà \[\lim{\rm{ }}{x_n} = {x_o}\] ta đều có \[\lim{\rm{ [f[}}{x_n}]] = L\].
Khi đó, ta viết: \[\mathop {\lim}\limits_{x \to x_o^ + } {\rm{f}}\left[ x \right] = L\] hoặc \[{\rm{f}}\left[ x \right] \to L\] khi \[x \to x_o^ + \].
Giới hạn trái
Giả sử hàm số \[{\rm{f}}\] xác định định trên khoảng \[\left[ {a;{x_o}} \right]\]. Ta nói rằng hàm số \[{\rm{f}}\] có giới hạn bên trái là số thực \[L\] khi \[x\] tiến về \[{x_o}\] nếu mọi dãy \[\left[ {{x_n}} \right]\] trong khoảng \[\left[ {a;{x_o}} \right]\] mà \[\lim{\rm{ }}{x_n} = {x_o}\] ta đều có \[\lim{\rm{ [f[}}{x_n}]] = L\].
Khi đó, ta viết: \[\mathop {\lim}\limits_{x \to x_o^ - } {\rm{f}}\left[ x \right] = L\] hoặc \[{\rm{f}}\left[ x \right] \to L\] khi \[x \to x_o^ - \].
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = \left[ {1; + \infty } \right]\]
Với mỗi dãy \[\left[ {{x_n}} \right] \subset \left[ {1; + \infty } \right]\] mà \[\lim {x_n} = 1\] ta có:
\[\lim f\left[ {{x_n}} \right] = \lim \sqrt {{x_n} - 1} \]\[ = \sqrt {1 - 1} = 0\] nên \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left[ x \right] = 0\].
LG b
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \left[ {\sqrt {5 - x} + 2x} \right]\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = \left[ { - \infty ;5} \right]\]
Với mỗi dãy \[\left[ {{x_n}} \right] \subset \left[ { - \infty ;5} \right]\] mà \[\lim {x_n} = 5\] ta có:
\[\lim f\left[ {{x_n}} \right] = \lim \left[ {\sqrt {5 - {x_n}} + 2{x_n}} \right]\]\[ = \sqrt {5 - 5} + 2.5 = 10\] nên \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left[ x \right] = 10\].
LG c
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {1 \over {x - 3}}\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\]
Với mỗi dãy \[\left[ {{x_n}} \right] \subset \left[ {3; + \infty } \right]\] mà \[\lim {x_n} = 3\] ta có:
\[\lim f\left[ {{x_n}} \right] = \lim \dfrac{1}{{{x_n} - 3}} = + \infty \] vì \[\lim 1 = 1 > 0\] và \[\left\{ \begin{array}{l}\lim \left[ {{x_n} - 3} \right] = 0\\{x_n} > 3 \Rightarrow {x_n} - 3 > 0\end{array} \right.\]
Vậy \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{1}{{x - 3}} = + \infty \]
LG d
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {1 \over {x - 3}}\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\]
Với mỗi dãy \[\left[ {{x_n}} \right] \subset \left[ { - \infty ;3} \right]\] mà \[\lim {x_n} = 3\] ta có:
\[\lim f\left[ {{x_n}} \right] = \lim \dfrac{1}{{{x_n} - 3}} = - \infty \] vì \[\lim 1 = 1 > 0\] và \[\left\{ \begin{array}{l}\lim \left[ {{x_n} - 3} \right] = 0\\{x_n} < 3 \Rightarrow {x_n} - 3 < 0\end{array} \right.\]
Vậy \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{1}{{x - 3}} = - \infty \]