- LG a
- LG b
- LG c
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
LG a
Đồ thị hai hàm số \[y = {x^2} + 1\] và \[y = 3 x\].
Phương pháp giải:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right],y = g\left[ x \right],\] \[x = a,x = b\].
+] B1: Tìm nghiệm \[a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\] của phương trình hoành độ giao điểm \[f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\].
+] B2: Tính diện tích theo công thức:
\[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]
\[ = \int\limits_a^{{x_1}} {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \] \[ + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \] \[ + ... + \int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \] \[ + \int\limits_{{x_n}}^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]
\[ = \left| {\int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|\]\[ + \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|\] \[ + ... + \left| {\int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|\] \[ + \left| {\int\limits_{{x_n}}^b {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|\]
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\[{x^2} + 1 = 3 - x \] \[\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 2 \hfill \cr} \right.\]
\[S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} dx\] \[ = \left| {\int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {{x^2} + x - 2} \right]dx} } \right|\] \[ = \left| {\left. {\left[ {\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right]} \right|_{ - 2}^1} \right|\] \[ = \left| { - \dfrac{7}{6} - \dfrac{{10}}{3}} \right| = \dfrac{9}{2}\]
Cách khác:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\[{x^2} + 1 = 3 - x \] \[\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 2 \hfill \cr} \right.\]
Với mọi \[x \in \left[ { - 2;1} \right]\] thì \[{x^2} + x - 2 \le 0\]. Khi đó, \[\left| {{x^2} + x - 2} \right| = - {x^2} - x + 2\]
Diện tích cần tìm là:
\[S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} dx\] \[ = \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ { - {x^2} - x + 2} \right]dx} \] \[ = \left. {\left[ { - \dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right]} \right|_{ - 2}^1\] \[ = \dfrac{7}{6} - \left[ { - \dfrac{{10}}{3}} \right] = \dfrac{9}{2}\]
LG b
Các đường có phương trình \[x = {y^3}\], \[y = 1\], và \[x = 8\].
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[x = {y^3} \Rightarrow y = {x^{\frac{1}{3}}}\]
Diện tích cần tìm là:
\[S = \int\limits_1^8 {[{x^{{1 \over 3}}} - 1]dx = \left. {\left[ {{3 \over 4}{x^{{4 \over 3}}} - x} \right]} \right|_1^8} \] \[= {{17} \over 4}\]
Cách khác:
Tung độ giao điểm của đường cong x=y3và đường thẳng x = 8 là nghiệm của phương trình y3=8 y = 2. Vậy diện tích cần tìm là:
\[S = \int\limits_1^2 {\left| {{y^3} - 8} \right|dy} \]\[ = \left| {\int\limits_1^2 {\left[ {{y^3} - 8} \right]dy} } \right|\] \[ = \left| {\left. {\left[ {\dfrac{{{y^4}}}{4} - 8y} \right]} \right|_1^2} \right|\] \[ = \left| { - 12 - \left[ { - \dfrac{{31}}{4}} \right]} \right|\]\[ = \left| { - \dfrac{{17}}{4}} \right| = \dfrac{{17}}{4}\]
LG c
Đồ thị của hàm số \[y = \sqrt x ,y = 6 - x\] và trục hoành.
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:
\[\eqalign{
& \sqrt x = 6 - x \Leftrightarrow x + \sqrt x - 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4 \cr} \]
\[S = {S_{OAB}} + {S_{ABC}}\]
\[ = \int\limits_0^4 {\sqrt x dx} + \dfrac{1}{2}.AB.AC\]\[ = \int\limits_0^4 {{x^{\dfrac{1}{2}}}dx} + \dfrac{1}{2}.2.2 = \left. {\dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}} \right|_0^4 + 2\] \[ = \dfrac{2}{3}.8 + 2 = \dfrac{{22}}{3}\]
Cách khác:
Ta có: y=x y2=x [y 0];y=6-x x = 6 y
Tung độ giao điểm của hai đường thẳng x=y2;x=6-y là nghiệm của phương trình
\[{y^2} = 6 - y\] \[ \Leftrightarrow {y^2} + y - 6 = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 3\left[ {loai} \right]\\y = 2\end{array} \right.\]
Vậy diện tích cần tìm:
\[S = \int\limits_0^2 {\left| {{y^2} - \left[ {6 - y} \right]} \right|dy} \] \[ = \left| {\int\limits_0^2 {\left[ {{y^2} + y - 6} \right]dy} } \right|\] \[ = \left| {\left. {\left[ {\dfrac{{{y^3}}}{3} + \dfrac{{{y^2}}}{2} - 6y} \right]} \right|_0^2} \right|\] \[ = \left| { - \dfrac{{22}}{3} - 0} \right| = \dfrac{{22}}{3}\]