Đề bài
Với các giá trị nào của a hàm số \[y = ax - {x^3}\]nghịch biến trên \[\mathbb R\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm y'.
- Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi y'\[\le 0\] với mọi x.
Chú ý: Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai:
\[a{x^2} + bx + c \le 0\left[ {a \ne 0} \right],\forall x \in R\] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Tập xác định \[D=\mathbb R\]
\[y' = a - 3{x^2}\]
Hàm số nghịch biến trên \[\mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow y' \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 3{x^2} + a \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < 0\\\Delta = {0^2} - 4.\left[ { - 3} \right].a \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 12a \le 0\\ \Leftrightarrow a \le 0\end{array}\]
Cách 2. Hàm số nghịch biến trên R, điều kiện y'0,x R,y'=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Ta có: y'0 a-3x20, x
3x2 a, x R
amin[3x2], mà 3x20 x R
Nên \[\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} \left[ {3{x^2}} \right] = 0\]. Vậy \[a \le 0\].
Kết luận: với a0 thì y=ax-3x3nghịch biến trên R.
Cách 3:
Tập xác định \[D=\mathbb R\]
\[y' = a - 3{x^2}\]
Nếu \[a < 0\]thì \[y' < 0\]với mọi \[x \in {\mathbb R}\], khi đó hàm số nghịch biến trên \[\mathbb R\].
Nếu \[a = 0\]thì \[y' = - 3{x^2} \le 0\]với mọi \[x \in{\mathbb R}\], \[y'=0\Leftrightarrow x=0\].
Vậy hàm số nghịch biến trên \[\mathbb R\].
Nếu \[a > 0\]thì \[y' = 0\] \[\Leftrightarrow x = \pm {\sqrt {a \over 3}}\]
Ta có bảng biến thiên
Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên\[{\mathbb R}\]
Vậy hàm số nghịch biến trên \[{\mathbb R}\]khi và chỉ khi \[a \le 0\].