Đề bài
Tính thể tích của khối lăng trụ \[n\]-giác đều có tất cả các cạnh đều bằng \[a\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ V=Bh.
Lời giải chi tiết
Gọi \[{A_1}{A_2}...{A_n}\]là đáy của khối lăng trụ \[n\]-giác đều và \[O\] là tâm của đáy.
Gọi \[I\] là trung điểm của \[{A_1}{A_2}\]ta có \[OI \bot {A_1}{A_2}\].
Trong \[\Delta {A_1}IO\]: \[\cot \widehat {{A_1}OI} = {{OI} \over {{A_1}I}} \]
\[ \Rightarrow OI = {A_1}I\cot \widehat {{A_1}OI}\]
Mà \[{A_1}I = \frac{1}{2}{A_1}{A_2} = \frac{a}{2}\] và \[\widehat {{A_1}OI} = \frac{1}{2}\widehat {{A_1}O{A_2}} = \frac{1}{2}.\frac{{2\pi }}{n} = \frac{\pi }{n}\] nên \[OI = \frac{a}{2}.\cot \frac{\pi }{n}\]
\[ \Rightarrow {S_{{A_1}O{A_2}}} = \frac{1}{2}OI.{A_1}{A_2}\] \[ = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}\cot \frac{\pi }{n}.a = \frac{{{a^2}}}{4}\cot \frac{\pi }{n}\]
Diện tích đáy của khối lăng trụ đều là \[ {S} = n.{S_{{A_1}O{A_2}}} = \frac{{n{a^2}}}{4}\cot \frac{\pi }{n}\]
Chiều cao của khối lăng trụ đều là \[a\] nên thể tích của nó là:
\[ V = Bh = \frac{{n{a^2}}}{4}\cot \frac{\pi }{n}.a = \frac{{n{a^3}}}{4}\cot \frac{\pi }{n}\]