- LG a
- LG b
LG a
Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng \[a\] và chiều cao bằng \[h\].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[H\] là tâm của tam giác đều \[ABC\].
\[SH\] là đường cao của hình chóp đều \[S.ABC\] nên \[SH\] là trục của tam giác \[ABC\].
Trong mặt phẳng \[[SAH]\] gọi \[O\] là giao điểm của đường trung trực \[SA\] với \[SH\] thì \[O\] là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính của mặt cầu là \[R = SO\].
Gọi \[I\] là trung điểm của \[SA\] thì tứ giác \[AHOI\] nội tiếp nên:
\[SO.SH = SI.SA\] \[ \Rightarrow SO = {{S{A^2}} \over {2SH}} = {{S{A^2}} \over {2h}}\]
Mà \[S{A^2} = S{H^2} + A{H^2} \] \[ = {h^2} + {\left[ {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2} = {{{a^2} + 3{h^2}} \over 3}\]
Từ đó suy ra \[R = SO = {{{a^2} + 3{h^2}} \over {6h}}\]
Vậy thể tích khối cầu cần tìm là \[V = {{\pi {{\left[ {{a^2} + 3{h^2}} \right]}^3}} \over {162{h^3}}}\]
LG b
Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có tất cả các cạnh cùng bằng \[a\]. Gọi \[A, B, C, D\] lần lượt là trung điểm của \[SA, SB, SC, SD\]. Chứng minh rằng các điểm \[A, B, C, D, A, B, C, D\] cùng thuộc một mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi \[SH\] là đường cao của hình chóp đều \[S.ABCD\] thì \[H\] là tâm của hình vuông \[ABCD\] và \[SH\] đi qua tâm \[H\] của hình vuông \[ABCD\].
Mọi điểm nằm trên \[SH\] đều cách đều bốn điểm \[A, B, C, D\].
Trên đường thẳng \[SH\], ta xác định điểm \[O\] sao cho \[OA = OA\] thì \[O\] cách đều tám điểm \[A, B, C, D, A, B, C, D\] tức là tám điểm đó nằm trên mặt cầu tâm \[O\], bán kính \[R = OA\].
Điểm \[O\] là giao điểm của đường thẳng \[SH\] và mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AA\].
Ta có: \[2{a^2} = A{C^2} = S{A^2} + S{C^2}\]nên tam giác vuông cân tại S suy ra \[\widehat {ASO} = {45^0}\]do đó ASIO vuông cân tại I và \[IS = IO = {{3a} \over 4}\].
Từ đó suy ra \[R = OA = \sqrt {O{I^2} + I{A^2}} \] \[ = \sqrt {{{9{a^2}} \over {16}} + {{{a^2}} \over {16}}} = {{a\sqrt {10} } \over 4}\]
Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: \[V = {4 \over 3}\pi {\left[ {{{a\sqrt {10} } \over 4}} \right]^3} = {{5\pi {a^3}\sqrt {10} } \over {24}}\]