Các bài tập về tính thể tích khối tròn xoay năm 2024

Nhắc đến hình học không gian chúng ta không thể không nhắc đến khối tròn xoay và thể tích của chúng? Vậy khối tròn xoay là gì? Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức nào? Hãy cùng VOH Giáo dục tìm hiểu chi tiết định nghĩa, cách tính khối tròn xoay quanh trục Ox, trục Oy và các bài tập ví dụ minh họa có lời giải chi tiết trong bài viết dưới đây.

---

1. Định nghĩa khối tròn xoay

Trong không gian, khối tròn xoay là một khối hình được tạo bằng cách quay một mặt phẳng quanh một trục cố định.

Trong chương trình toán học phổ thông các bạn sẽ được tiếp xúc với một số khối tròn xoay như khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay, khối cầu tròn xoay,...

Ảnh 1: Các khối tròn xoay thường gặp

2. Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục ox

Ảnh 2: Ghi nhớ các công thức tính thể tích khối tròn xoay sẽ giúp bạn giải toán tốt hơn

3. Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy

Ảnh 3: Công thức tính thể tích khối tròn xoay

4. Một số ví dụ tích thể tích khối tròn xoay

Dưới đây là một số ví dụ về công thức tính thể tích khối tròn xoay các bạn có thể tham khảo để nắm vững hơn phần kiến thức này:

Việc áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay để giải toán không quá khó, tuy nhiên các bạn cần lưu ý những vấn đề sau:

• Sử dụng đúng công thức cho từng trường hợp
• Chú ý khi xác định cận để áp dụng trong công thức tính thể tích
• Lưu ý khi thế cận

Trên đây là định nghĩa về khối tròn xoay và công thức tính thể tích khối tròn xoay kèm theo một số ví dụ minh họa có đáp án giải chi tiết mà VOH Giáo dục muốn chia sẻ đến các em học sinh.Thông qua tài liệu này giúp các em học sinh có thêm nhiều tư liệu ôn tập, củng cố kiến thức làm quen với các dạng bài tập Hình học

Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Đầu tư và Dịch vụ Giáo dục MST: 0102183602 do Sở kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội cấp ngày 13 tháng 03 năm 2007 Địa chỉ: - Văn phòng Hà Nội: Tầng 4, Tòa nhà 25T2, Đường Nguyễn Thị Thập, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Hà Nội. - Văn phòng TP.HCM: 13M đường số 14 khu đô thị Miếu Nổi, Phường 3, Quận Bình Thạnh, TP. Hồ Chí Minh Hotline: 19006933 – Email: [email protected] Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Giang Linh

Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 597/GP-BTTTT Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 30/12/2016.

Trong chương trình toán 12, thể tích khối nón là phần kiến thức quan trọng. Ngoài ra, các bài tập thể tích khối nón xuất hiện rất nhiều trong các đề thi. Hãy cùng VUIHOC tìm hiểu các công thức tính thể tích khối nón để có thể dễ dàng hơn trong việc giải các bài tập liên quan nhé!

1. Khối nón (hình nón) là gì?

Một hình được gọi là hình nón (khối nón) là khối hình hình học không gian 3 chiều có bề mặt cong và bề mặt phẳng hướng về phía trên. Hình nón được phân ra thành 2 phần: phần đầu nhọn là đỉnh và phần đáy chính là phần hình tròn mặt phẳng.

Trong đời sống chúng ta sẽ bắt gặp rất nhiều vật dụng hình nón như: mũ sinh nhật, que kem ốc quế,...

Hình nón gồm có 3 thuộc tính gồm: một đỉnh hình tam giác, một mặt tròn là đáy hình nón và nó không có bất kỳ cạnh nào.

Chiều cao (h) chính là khoảng cách từ tâm vòng tròn đến đỉnh hình nón. Hình được tạo bởi bán kính và đường cao trong hình nón chính là tam giác vuông.

2. Các loại hình nón phổ biến hiện nay

Hình nón có 3 loại phổ biến trong hiện nay, điều này tùy thuộc vào vị trí của đỉnh nằm nghiên hay nằm thẳng.

• Hình nón tròn xoay: Là hình nón có đỉnh nối vuông góc với mặt đáy tâm hình tròn.
• Hình nón cụt: Là hình nón có 2 hình tròn song song nhau.
• Hình nón xiên: Là hình nón có đỉnh không kéo vuông góc với tâm hình tròn mà có thể kéo từ 1 điểm bất kỳ mà không phải tâm của hình tròn mặt đáy.

Vậy tính thể tích khối nón như thế nào? Công thức tính thể tích khối nón được tính theo công thức nào? Các bạn học sinh hãy cùng theo dõi phần tiếp theo nhé!

3. Công thức tính thể tích khối nón

Để tính được thể tích hình nón chúng ta có công thức tính thể tích khối nón như sau:

Thể tích khối nón tính bằng 1/3 giá trị Pi nhân với bình phương bán kính đáy mặt nón và nhân chiều cao của hình nón.

$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$

Trong đó ta có:

• V: Thể tích hình nón
• π: = 3,14
• r: Bán kính
• h: Đường cao

Ví dụ: Tính thể tích khối nón biết khối nón có độ dài đường sinh là 5 cm, bán kính R hình tròn đáy bằng 3 cm.

Giải:

Gọi O là đỉnh khối nón, A là điểm thuộc đường tròn đáy, H là tâm của hình tròn. Ta có HA = 3 cm, OA = 5 cm,

Trong tam giác vuông OHA, tính được OH

$OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$

$V=\frac{1}{3}\pi.R^{2}.h=\frac{1}{3}\pi.3^{2}.4=12\pi (cm^{3})$

$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h = V = 12\pi = 37,68 m^{3}$

\>>>Đăng ký ngay để được thầy cô hướng dẫn ôn tập, nắm chắc kiến thức khối tròn xoay một cách dễ dàng nhất<<<

4. Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay

Thể tích khối nón tròn xoay được tính bằng công thức như sau:

$V=\frac{1}{3}B.h=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$

• B: Diện tích đáy
• r: Bán kính đáy
• h: Chiều cao hình nón

5. Công thức tính thể tích khối nón cụt (hình nón cụt)

Thể tích khối nón cụt được tính bằng hiệu của thể tích hình nón lớn và hình nón nhỏ, như sau:

$V=\frac{1}{3}\pi (r_{1}^{2}+r_{2}{2}+r_{1}.r_{2})$

• V: Thể tích hình nón cụt
• $r_{1}, r_{2}$: Bán kính 2 đáy
• h: Chiều cao

6. Công thức tính diện tích xung quanh hình nón

Chúng ta đã được biết công thức tính thể tích khối nón, hình nón cụt, hình nón tròn xoay. Và để tính diện tích xung quanh hình nón, ta cấn tính diện tích các mặt xung quanh, bao quanh hình nón và không bao gồm diện tích đáy.

Công thức diện tích xung quanh hình nón được tính theo công thức sau:

Sxq = π.r.l

Trong đó:

• Sxq: Diện tích xung quanh
• r: Bán kính đáy
• l: Độ dài đường sinh

Nắm trọn bí quyết học giỏi Toán 12, cam kết 9+ trong mọi kỳ thi trung riêng nhờ bộ bí kíp độc quyền của VUIHOC ngay!!!

7. Cách xác định đường sinh, đường cao và bán kính đáy

• Đường cao h là khoảng cách từ tâm mặt đáy đến đỉnh hình chóp.
• Đường sinh l là khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên đường tròn đáy đến đỉnh hình chóp.

Do hình nón được tạo thành khi quay một tam giác vuông quanh trục một cạnh góc vuông của nó nên có thể bán kính đáy và đường cao là 2 cạnh góc vuông của tam giác, đường sinh là cạnh huyền. Nên khi biết đường cao h và bán kính đáy, ta tính được đường sinh bằng công thức như sau:

$l = \sqrt{r^{2}+h^{2}}$

Biết bán kính và đường sinh, ta tính đường cao:

$h = \sqrt{l^{2}-r^{2}}$

Khi ta được biết đường cao và đường sinh, ta tính bán kính đáy theo công thức sau:

$r = \sqrt{l^{2}-h^{2}}$

8. Một số bài tập tính thể tích khối nón từ cơ bản đến nâng cao

Bài 1: Cho khối nón có đỉnh là O có độ dài đường sinh bằng 5 cm, bán kính hình tròn đáy là 3 cm. Tính thể tích khối nón.

l = 5 cm R = 3 cm

Gọi O là đỉnh khối nón

H là tâm hình tròn

A là điểm thuộc đường tròn đáy

Theo đề bài ta có OA = 5 cm, HA = 3 cm

Trong tam giác vuông OHA, có:

$OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$

$V=\frac{1}{3}\pi.R^{2}.h=\frac{1}{3}\pi.3^{2}.4=12\pi (cm^{3})$

Thể tích khối nón là: $37,68 cm^{3}$

Bài 2: Tính thể tích khối nón? Biết tứ diện đều ABCD có đỉnh A và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và các cạnh bằng a.

Bài giải :

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, ta có AO = h, OC = r như hình bên

$\Rightarrow r=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Suy ra

$h= \sqrt{a^{2}-r^{2}}=\sqrt{a^{2}-(\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{3}}$

Vậy thể tích khối nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi.R^{2}.h=\frac{1}{3}\pi.\frac{a^{2}}{3}.\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=\frac{\pi\sqrt{6}a^{3}}{27}$

Bài 3: Hãy tính thể tích khối nón khi cho hình nón N có góc ở đỉnh bằng 60 độ, mặt phẳng qua trục của hình nón, cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 2.

Bải giải :

Tam giác SAB đều, có góc S bằng 60 độ, SA = SB. Trọng tâm tam giác là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là:

$r=\frac{2}{3}SO=2\Leftrightarrow SO=3$

Mà SO=SA.sin 60o

$\Rightarrow SA=\frac{SO}{Sin 60^{\circ}}$

$=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$

Bán kính của đường tròn khối nón là:

$R=\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Ta áp dụng công thức tính thể tích khối nón như sau :

$V=\frac{1}{3}\pi(\sqrt{3})^{2}.3=3\pi$

Vậy V khối nón là: 3 x 3.14 = 9,42 Cm3

Bài 4: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 5cm, bán kính hình tròn đáy là 3cm. Tính thể tích khối nón. Với l = 5 cm, R = 3 cm

Giải

Gọi O là đỉnh khối nón

H là tâm hình tròn

A là điểm thuộc đường tròn đáy

OA = 5cm, HA = 3cm

Trong tam giác vuông OHA,

$OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$

$V=\frac{1}{3}\pi.R^{2}.h=\frac{1}{3}\pi.3^{2}.4=12\pi (cm^{3})$

Bài 5: Cho ABC vuông tại A, AB = 8cm, BC = 10cm, Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho đường gấp khúc

1. ACB quay quanh AB.

2. ABC quay quanh AC.

Giải

Trong tam giác vuông ABC,

$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$ (cm)

1. Khi đường gấp khúc ACB quay quanh AB ta được hình nón có chiều cao h=AB=8(cm), bán kính R=AC=6(cm).

$V=\frac{1}{3}\pi.R^{2}.h=\frac{1}{3}.6^{2}.8=96\pi (cm^{3})$

2. Khi đường gấp khúc ABC quay quanh AC ta được hình nón có chiều cao h = AC = 6(cm), bán kính R = AB = 8(cm).

$V=\frac{1}{3}\pi.R^{2}.h=\frac{1}{3}\pi.8^{2}.6=128\pi (cm^{3})$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ kiến thức và công thức về thể tích khối nón. Hy vọng rằng sau bài viết, các bạn học sinh có thể áp dụng công thức Toán hình 12 để giải các bài tập thật chính xác. Để học và ôn tập nhiều hơn những phần kiến thức lớp 12, hãy truy cập ngay nền tảng học online Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay!