Bài tập khó chuyên đề khảo sát hàm số

1. ›š & ›š TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Năm 2012
2. sát hàm số KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. Kiến thức cơ bản Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D. · Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Nếu y ' = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì: + y ' ³ 0, "x Î R Û í a > 0 ì îD £ 0 + y ' £ 0, "x Î R Û í a < 0 ì îD £ 0 · Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) : + Nếu D < 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a. + Nếu D = 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a (trừ x = - b ) 2a + Nếu D > 0 thì g( x ) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g( x ) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g( x ) cùng dấu với a. · So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c với số 0: ìD ³ 0 ìD ³ 0 ï ï + x1 £ x2 < 0 Û í P > 0 + 0 < x1 £ x2 Û í P > 0 + x1 < 0 < x2 Û P < 0 ïS < 0 ïS > 0 î î · g( x ) £ m, "x Î (a; b) Û max g( x ) £ m ; ( a;b ) g( x ) ³ m, "x Î (a; b) Û min g( x ) ³ m ( a;b ) B. Một số dạng câu hỏi thường gặp 1. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định). · Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Nếu y ' = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì: + y ' ³ 0, "x Î R Û í a > 0 ì îD £ 0 + y ' £ 0, "x Î R Û í a < 0 ì îD £ 0 2. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên khoảng (a ; b ) . Ta có: y¢ = f ¢( x ) = 3ax 2 + 2bx + c . a) Hàm số f đồng biến trên (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x Î (a ; b ) và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) . Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) ³ g( x ) (*) thì f đồng biến trên (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x ) (a ; b ) Trang 1
3. số · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) £ g( x ) Trần Sĩ Tùng (**) thì f đồng biến trên (a ; b ) Û h(m) £ min g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t = x - a . Khi đó ta có: y¢ = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c . ìa > 0 ïD > 0 ï ìa > 0 – Hàm số f đồng biến trên khoảng (-¥; a) Û g(t ) ³ 0, "t < 0 Û í Ú í îD £ 0 ïS > 0 ïP ³ 0 î ìa > 0 ïD > 0 ï ìa > 0 – Hàm số f đồng biến trên khoảng (a; +¥) Û g(t ) ³ 0, "t > 0 Û í Ú í îD £ 0 ïS < 0 ïP ³ 0 î b) Hàm số f nghịch biến trên (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x Î (a ; b ) và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) . Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f ¢( x ) £ 0 Û h(m) ³ g( x ) (*) thì f nghịch biến trên (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x ) (a ; b ) · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) £ g( x ) (**) thì f nghịch biến trên (a ; b ) Û h(m) £ min g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) £ 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t = x - a . Khi đó ta có: y¢ = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c . ìa < 0 ï ï ì – Hàm số f nghịch biến trên khoảng (-¥; a) Û g(t ) £ 0, "t < 0 Û ía < 0 Ú íD > 0 D£0 î ïS > 0 ïP ³ 0 î ìa < 0 ïD > 0 ï ìa < 0 – Hàm số f nghịch biến trên khoảng (a; +¥) Û g(t ) £ 0, "t > 0 Û í Ú í D£0 î ïS < 0 ïP ³ 0 î 3. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k cho trước. ì · f đơn điệu trên khoảng ( x1; x2 ) Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Û í a ¹ 0 (1) îD > 0 · Biến đổi x1 - x2 = d thành ( x1 + x2 )2 - 4 x1x2 = d 2 · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. 4. Tìm điều kiện để hàm số y = ax 2 + bx + c (2), (a, d ¹ 0) dx + e a) Đồng biến trên (-¥;a ) . b) Đồng biến trên (a ; +¥) . Trang 2 (2)
4. sát hàm số c) Đồng biến trên (a ; b ) . ì -e ü adx 2 + 2aex + be - dc f ( x) = ý , y' = 2 2 îd þ ( dx + e ) ( dx + e ) Tập xác định: D = R í Trường hợp 1 Nếu: f ( x ) ³ 0 Û g( x ) ³ h(m) (i) Trường hợp 2 Nếu bpt: f ( x ) ³ 0 không đưa được về dạng (i) thì ta đặt: t = x - a . Khi đó bpt: f ( x ) ³ 0 trở thành: g(t ) ³ 0 , với: g(t ) = adt 2 + 2a(da + e)t + ada 2 + 2aea + be - dc a) (2) đồng biến trên khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ï g( x ) ³ h(m), "x < a î ì -e ï ³a Ûíd ïh(m) £ min g( x ) ( -¥;a ] î a) (2) đồng biến trên khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ï g(t ) ³ 0, "t < 0 (ii) î ìa > 0 ïD > 0 ï ìa > 0 Ú í (ii) Û í îD £ 0 ïS > 0 ïP ³ 0 î b) (2) đồng biến trên khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ï g( x ) ³ h(m), "x > a î ì -e ï £a Ûíd ïh(m) £ min g( x ) [a ; +¥ ) î b) (2) đồng biến trên khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ï g(t ) ³ 0, "t > 0 (iii) î ìa > 0 ïD > 0 ï ìa > 0 Ú í (iii) Û í îD £ 0 ïS < 0 ïP ³ 0 î c) (2) đồng biến trên khoảng (a ; b ) ì -e ï Û í d Ï (a ; b ) ï î g( x ) ³ h(m), "x Î (a ; b ) ì -e ï Ï (a ; b ) Ûíd ïh(m) £ min g( x ) [a ; b ] î 5. Tìm điều kiện để hàm số y = ax 2 + bx + c (2), (a, d ¹ 0) dx + e a) Nghịch biến trên (-¥;a ) . b) Nghịch biến trên (a ; +¥) . c) Nghịch biến trên (a ; b ) . ì -e ü adx 2 + 2aex + be - dc f ( x) = ý , y' = 2 2 îd þ ( dx + e ) ( dx + e ) Tập xác định: D = R í Trang 3
5. số www.VNMATH.com Trường hợp 1 Nếu f ( x ) £ 0 Û g( x ) ³ h(m) (i) Trần Sĩ Tùng Trường hợp 2 Nếu bpt: f ( x ) ³ 0 không đưa được về dạng (i) thì ta đặt: t = x - a . Khi đó bpt: f ( x ) £ 0 trở thành: g(t ) £ 0 , với: g(t ) = adt 2 + 2a(da + e)t + ada 2 + 2aea + be - dc a) (2) nghịch biến trên khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ï g( x ) ³ h(m), "x < a î ì -e ï ³a Ûíd ïh(m) £ min g( x ) ( -¥;a ] î b) (2) nghịch biến trên khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ï g( x ) ³ h(m), "x > a î ì -e ï £a Ûíd ïh(m) £ min g( x ) [a ; +¥ ) î a) (2) đồng biến trên khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ï g(t ) £ 0, "t < 0 (ii) î ìa < 0 ïD > 0 ï ìa < 0 (ii) Û í Ú í îD £ 0 ïS > 0 ïP ³ 0 î b) (2) đồng biến trên khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ï g(t ) £ 0, "t > 0 (iii) î ìa < 0 ïD > 0 ï ìa < 0 (iii) Û í Ú í îD £ 0 ïS < 0 ïP ³ 0 î c) (2) đồng biến trong khoảng (a ; b ) ì -e ï Û í d Ï (a ; b ) ï g( x ) ³ h(m), "x Î (a ; b ) î ì -e ï Ï (a ; b ) Ûíd ïh(m) £ min g( x ) [a ; b ] î Trang 4
6. 1. Khảo sát hàm số 1 3 Cho hàm số y = (m - 1) x 3 + mx 2 + (3m - 2) x (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. · Tập xác định: D = R. y ¢= (m - 1) x 2 + 2mx + 3m - 2 . (1) đồng biến trên R Û y ¢³ 0, "x Û m ³ 2 Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 - mx - 4 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (-¥;0) . Câu 2. · Tập xác định: D = R. y ¢= 3 x 2 + 6 x - m . y¢ có D¢ = 3(m + 3) . + Nếu m £ -3 thì D¢ £ 0 Þ y¢ ³ 0, "x Þ hàm số đồng biến trên R Þ m £ -3 thoả YCBT. + Nếu m > -3 thì D¢ > 0 Þ PT y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 < x2 ) . Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; x1 ),( x2 ; +¥) . ìD¢ > 0 ìm > -3 ï ï Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;0) Û 0 £ x1 < x2 Û í P ³ 0 Û í-m ³ 0 (VN) ïS > 0 ï-2 > 0 î î Vậy: m £ -3 . Cho hàm số y = 2 x 3 - 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1 có đồ thị (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +¥) Câu 3. · Tập xác định: D = R. y ' = 6 x 2 - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) có D = (2m + 1)2 - 4(m 2 + m) = 1 > 0 éx = m y' = 0 Û ê . Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; m), (m + 1; +¥) ëx = m +1 Do đó: hàm số đồng biến trên (2; +¥) Û m + 1 £ 2 Û m £ 1 Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K = (0; +¥) . Câu 4. · Hàm đồng biến trên (0; +¥) Û y ¢= 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + (2 - m) ³ 0 với "x Î (0; +¥) Û f ( x) = 3x 2 + 2 x + 2 ³ m với "x Î (0; +¥) 4x + 1 6(2 x 2 + x - 1) 1 Ta có: f ¢( x ) = = 0 Û 2 x 2 + x - 1 = 0 Û x = -1; x = 2 2 (4 x + 1) æ1ö 5 Lập BBT của hàm f ( x ) trên (0; +¥) , từ đó ta đi đến kết luận: f ç ÷ ³ m Û ³ m . 4 è2ø Câu hỏi tương tự: 1 3 1 b) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ¹ -1) , K = (1; +¥) . 3 1 c) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ¹ -1) , K = (-1;1) . 3 a) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ¹ -1) , K = (-¥; -1) . Trang 5 ĐS: m ³ 4 11 ĐS: m ³ 0 ĐS: m ³ 1 2
7. số Câu 5. Trần Sĩ Tùng 1 3 Cho hàm số y = (m 2 - 1) x 3 + (m - 1) x 2 - 2 x + 1 (1) (m ¹ ±1) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K = (-¥;2) . · Tập xác định: D = R; y¢ = (m2 - 1) x 2 + 2(m - 1) x - 2 . Đặt t = x – 2 ta được: y¢ = g(t ) = (m 2 - 1)t 2 + (4m 2 + 2m - 6)t + 4m 2 + 4m - 10 Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (-¥;2) Û g(t ) £ 0, "t < 0 ì 2 ï ì TH1: í a < 0 Û ím 2- 1 < 0 îD £ 0 Vậy: Với Câu 6. ï3m - 2m - 1 £ 0 î ìm2 - 1 < 0 ìa < 0 ï 2 ï >0 ï3m - 2m - 1 > 0 ï ïD Û í4m2 + 4m - 10 £ 0 TH2: í ïS > 0 ï -2m - 3 ïP ³ 0 ï î >0 ï m +1 î -1 £ m < 1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (-¥;2) . 3 1 3 Cho hàm số y = (m 2 - 1) x 3 + (m - 1) x 2 - 2 x + 1 (1) (m ¹ ±1) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K = (2; +¥) . · Tập xác định: D = R; y¢ = (m2 - 1) x 2 + 2(m - 1) x - 2 . Đặt t = x – 2 ta được: y¢ = g(t ) = (m 2 - 1)t 2 + (4m 2 + 2m - 6)t + 4m 2 + 4m - 10 Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; +¥) Û g(t ) £ 0, "t > 0 ìm2 - 1 < 0 ìa < 0 ï 2 ï >0 ï3m - 2m - 1 > 0 ìm2 - 1 < 0 ï ï ïD ìa < 0 TH1: í TH2: í Ûí 2 Û í4m2 + 4m - 10 £ 0 S<0 îD £ 0 ï3m - 2m - 1 £ 0 ï ï -2m - 3 î ïP ³ 0 ï î <0 ï m +1 î Vậy: Với -1 < m < 1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; +¥) Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m (1), (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3. 2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. Câu 7. · Ta có y ' = 3 x 2 + 6 x + m có D¢ = 9 - 3m . + Nếu m ≥ 3 thì y¢ ³ 0, "x Î R Þ hàm số đồng biến trên R Þ m ≥ 3 không thoả mãn. + Nếu m < 3 thì y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 < x2 ) . Hàm số nghịch biến trên đoạn m é x1; x2 ù với độ dài l = x1 - x2 . Ta có: x1 + x2 = -2; x1x2 = . ë û 3 YCBT Û l = 1 Û x1 - x2 = 1 Û ( x1 + x2 )2 - 4 x1x2 = 1 Û m = 9 . 4 Cho hàm số y = -2 x 3 + 3mx 2 - 1 (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( x1; x2 ) với x2 - x1 = 1 . Câu 8. · y ' = -6 x 2 + 6mx , y ' = 0 Û x = 0 Ú x = m . + Nếu m = 0 Þ y¢ £ 0, "x Î ¡ Þ hàm số nghịch biến trên ¡ Þ m = 0 không thoả YCBT. Trang 6
8. sát hàm số + Nếu m ¹ 0 , y¢ ³ 0, "x Î (0; m) khi m > 0 hoặc y¢ ³ 0, "x Î (m; 0) khi m < 0 . Vậy hàm số đồng biến trong khoảng ( x1; x2 ) với x2 - x1 = 1 é( x ; x ) = (0; m) và x2 - x1 = 1 Û ê m - 0 = 1 Û m = ±1 . Û ê 1 2 ë0 - m = 1 ë( x1; x2 ) = (m;0) é Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 - 3m + 1 (1), (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2). Câu 9. · Ta có y ' = 4 x 3 - 4mx = 4 x( x 2 - m) + m £ 0 , y ¢³ 0, "x Î (0; +¥) Þ m £ 0 thoả mãn. + m > 0 , y ¢= 0 có 3 nghiệm phân biệt: - m , 0, m. Vậy m Î ( -¥;1ù . Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) Û m £ 1 Û 0 < m £ 1 . û Câu hỏi tương tự: a) Với y = x 4 - 2(m - 1) x 2 + m - 2 ; y đồng biến trên khoảng (1;3) . ĐS: m £ 2 . Câu 10. Cho hàm số y = mx + 4 x+m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) . · Tập xác định: D = R {–m}. y ¢= m2 - 4 ( x + m)2 . (1) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Û y ¢< 0 Û -2 < m < 2 Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) thì ta phải có - m ³ 1 Û m £ -1 (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: -2 < m £ -1 . Câu 11. Cho hàm số y = 2 x 2 - 3x + m (2). x -1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (-¥; -1) . · Tập xác định: D = R {1} . y ' = 2x2 - 4x + 3 - m 2 ( x - 1) = f (x) ( x - 1)2 . Ta có: f ( x ) ³ 0 Û m £ 2 x 2 - 4 x + 3 . Đặt g( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 Þ g '( x ) = 4 x - 4 Hàm số (2) đồng biến trên (-¥; -1) Û y ' ³ 0, "x Î (-¥; -1) Û m £ min g( x ) ( -¥;-1] Dựa vào BBT của hàm số g( x ), "x Î (-¥; -1] ta suy ra m £ 9 . Vậy m £ 9 thì hàm số (2) đồng biến trên (-¥; -1) Câu 12. Cho hàm số y = 2 x 2 - 3x + m (2). x -1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (2; +¥) . · Tập xác định: D = R {1} . y ' = 2x2 - 4x + 3 - m 2 ( x - 1) = f (x) ( x - 1)2 . Ta có: f ( x ) ³ 0 Û m £ 2 x 2 - 4 x + 3 . Đặt g( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 Þ g '( x ) = 4 x - 4 Hàm số (2) đồng biến trên (2; +¥) Û y ' ³ 0, "x Î (2; +¥) Û m £ min g( x ) [2; +¥ ) Trang 7
9. số Trần Sĩ Tùng Dựa vào BBT của hàm số g( x ), "x Î (-¥; -1] ta suy ra m £ 3 . Vậy m £ 3 thì hàm số (2) đồng biến trên (2; +¥) . Câu 13. Cho hàm số y = 2 x 2 - 3x + m (2). x -1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (1;2) . · Tập xác định: D = R {1} . y ' = 2x2 - 4x + 3 - m 2 ( x - 1) = f (x) ( x - 1)2 . Ta có: f ( x ) ³ 0 Û m £ 2 x 2 - 4 x + 3 . Đặt g( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 Þ g '( x ) = 4 x - 4 Hàm số (2) đồng biến trên (1;2) Û y ' ³ 0, "x Î (1;2) Û m £ min g( x ) [1;2] Dựa vào BBT của hàm số g( x ), "x Î (-¥; -1] ta suy ra m £ 1 . Vậy m £ 1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2) . Câu 14. Cho hàm số y = x 2 - 2mx + 3m2 (2). 2m - x Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) . · Tập xác định: D = R { 2m} . y ' = - x 2 + 4mx - m 2 2 ( x - 2m) = f (x) ( x - 2m)2 . Đặt t = x - 1 . Khi đó bpt: f ( x ) £ 0 trở thành: g(t ) = -t 2 - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - 1 £ 0 Hàm số (2) nghịch biến trên (-¥;1) Û y ' £ 0, "x Î (-¥;1) Û í2m > 1 ì î g(t ) £ 0, "t < 0 (i) ém = 0 éD ' = 0 ê ìm ¹ 0 ê ìD ' > 0 ém = 0 (i) Û ê ï Ûê Û êï ê í 4m - 2 > 0 ê íS > 0 ëm ³ 2 + 3 ê ïm2 - 4m + 1 ³ 0 êïP ³ 0 ëî ëî Vậy: Với m ³ 2 + 3 thì hàm số (2) nghịch biến trên (-¥;1) . Câu 15. Cho hàm số y = x 2 - 2mx + 3m2 (2). 2m - x Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (1; +¥) . · Tập xác định: D = R { 2m} . y ' = - x 2 + 4mx - m 2 ( x - 2m)2 = f (x) ( x - 2m)2 . Đặt t = x - 1 . Khi đó bpt: f ( x ) £ 0 trở thành: g(t ) = -t 2 - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - 1 £ 0 Hàm số (2) nghịch biến trên (1; +¥) Û y ' £ 0, "x Î (1; +¥) Û í2m < 1 ì î g(t ) £ 0, "t > 0 (ii ) ém = 0 éD ' = 0 ê ìm ¹ 0 ê ìD ' > 0 Û m £2- 3 (ii) Û ê ï Û êï ê í 4m - 2 < 0 ê íS < 0 ê ïm2 - 4m + 1 ³ 0 êïP ³ 0 ëî ëî Vậy: Với m £ 2 - 3 thì hàm số (2) nghịch biến trên (1; +¥) Trang 8
10. sát hàm số KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d A. Kiến thức cơ bản · Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt. · Hoành độ x1, x2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y¢ = 0 . · Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm. – Phân tích y = f ¢( x ).q( x ) + h( x ) . – Suy ra y1 = h( x1 ), y2 = h( x2 ) . Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y = h( x ) . · Gọi a là góc giữa hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2 x + b2 thì tan a = k1 - k2 1 + k1k2 B. Một số dạng câu hỏi thường gặp Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. 1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng d : y = px + q . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. 1 p – Giải điều kiện: k = p (hoặc k = - ). 2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y = px + q một góc a . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: k-p = tan a . (Đặc biệt nếu d º Ox, thì giải điều kiện: k = tan a ) 1 + kp 3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy. – Giải điều kiện SDIAB = S . 4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện SDIAB = S . 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Gọi I là trung điểm của AB. ì – Giải điều kiện: í D ^ d . îI Î d 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. Trang 9

Bài tập khó chuyên đề khảo sát hàm số

Bài Viết Liên Quan

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Toplist được quan tâm

Quảng cáo

Xem Nhiều

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội