Chương 5. ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CĂN BẢN
§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
1.1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f[x] xác định trên khoảng [a; b] và điểm $x_{0}$ $\in$ [a ; b]. Giới hạn [nếu có] của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại $x_{0}$, khi số gia của đối số dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số y = f[x] tại điểm $x_{0}$. Đạo hàm của hàm số y = f[x] tại $x_{0}$ được kí hiệu là y'[$x_{0}$] hoặc f'[$x_{0}$]:
1.2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Từ định nghĩa, để tính đạo hàm y'[$x_{0}$], ta cần thực hiện ba bước sau đây :
1] Cho $x_{0}$ số gia $\Delta$x và tính $\Delta$y = f[$x_{0}$] + $\Delta$x] - f[$x_{0}$].
2] Lập tỉ số
3] Tìm giới hạn
Ví dụ 1.
Dùng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số y = $x^{2}$ + 3x tại $x_{0}$ = 1.
Giải.
Cho số gia $\Delta$x tại $x_{0}$ = 1, ta có
Vậy y'[1] = 5.
Ví dụ 2.
Tính đạo hàm của hàm số
Giải
Ví dụ 3.
Cho f[x] = x[x - 1][x - 2] ... [x - 2001]. Tính f'[0].
Giải.
Vậy f'[0] = -2001!.
1.3. Đạo hàm trên một khoảng
Hàm số y = f[x] được gọi là có đạo hàm trên khoảng [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.
Quy ước. Khi ta nói hàm số y = f[x] có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào, thì điều đó có nghĩa là hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc tập xác định của hàm số đã cho.
1.4. Định lí
Đạo hàm của hàm số không đổi bằng 0.
Đạo hàm của hàm số y = x bằng 1, $\forall x\in R$
Đạo hàm của hàm số y = $x^{n}$ [n $\geq$ 2, n $\in$ N] bằng n$x^{n-1}$, $\forall x\in R$.
Đạo hàm của hàm số
1.5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
a] Tiếp tuyến của đường cong phẳng
Cho một đường cong phẳng [C] và một điểm cố định $M_{0}$ trên [C]. Kí hiệu M là một điểm di chuyển trên [C]; đường thẳng $M_{0}M$ là một cát tuyến của [C].
Nếu cát tuyến $M_{0}M$ có vị trí giới hạn $M_{0}T$ khi điểm M di chuyển trên [C] và dần tới điểm $M_{0}$ thì đường thẳng $M_{0}T$ được gọi là tiếp tuyến của đường cong [C] tại $M_{0}$.
Điểm $M_{0}$ được gọi là tiếp điểm.
b] Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số y = f[x] xác định trên khoảng [a; b] và có đạo hàm hàm tại $x_{0}$ $\in$ [a; b] ; gọi [C] là đồ thị của hàm số đó.
Đạo hàm của hàm số f[x] tại điểm $x_{0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến $M_{0}T$ của [C] tại điểm $M_{0}$[$x_{0}$; f[$x_{0}$]], tức là :
f'[$x_{0}$] = hệ số góc của tiếp tuyến $M_{0}T$.
c] Phương trình của tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] của hàm số y = f[x] tại điểm $M_{0}$[$x_{0}$; f[$x_{0}$]] là:
y - $y_{0}$ = f'[$x_{0}$][x - $x_{0}$] [với $y_{0}$ = f[$x_{0}$]].
Ví dụ 4.
Tìm hệ số góc của cát tuyến $M_{1}M_{2}$ với parabol y = 2x - $x^{2}$, biết rằng hoành độ các giao điểm là $x_{1}$ = 1; $x_{2}$ = 2.
Giải.
Cho số gia $\Delta$x tại $x_{0}$. Ta có :
Với $x_{0}$ = 2 thì
Ví dụ 5.
Cho parabol y = $x^{2}$. Tính hệ số góc tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ $x_{0}$ = 2 và viết phương trình của tiếp tuyến đó.
Giải.
Ta có f'[2] = 4. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = $x^{2}$ tại điểm [2 ; 4] là 4. Phương trình của tiếp tuyến tại điểm $M_{0}$[2 ; 4] là y - 4 = 4[x - 2] hay y = 4x - 4.
Ví dụ 6
Cho hàm số y = $x^{2}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số này, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm [0;-1].
Giải.
Cách 1.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = f[x] tại điểm [$x_{0}$; f[$x_{0}$]] là :
Ta có : y' = 2x.
Theo giả thiết, tiếp tuyến đó đi qua điểm [0;-1] nên ta có
Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là
• y - 1 = 2[x - 1] ⇔ y = 2x - 1 [ứng với $x_{0}$ = 1].
• y - 1 = -2[x + 1] ⇔ y= -2x - 1 [ứng với $x_{0}$ = -1].
Cách 2.
Phương trình của tiếp tuyến phải tìm có dạng y = ax – 1. Ta phải tìm a từ hệ phương trình
Vậy hai tiếp tuyến phải tìm có phương trình là
1.6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
a] Vận tốc tức thời
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = f[t] [với f[t] là một hàm số có đạo hàm]. Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t_{0}$ là đạo hàm của hàm số s = f[t] tại $t_{0}$:
v[$t_{0}$] = s'[$t_{0}$] = f'[$t_{0}$].
b] Cường độ tức thời
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số theo thời gian t, Q = f[t] [f[t] là một hàm số có đạo hàm]. Cường độ trung bình của dòng điện trong thời gian $\Delta$t là
$I_{t}$ = Q'[t].
BÀI TẬP
5.1. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm tại điểm đã chỉ ra của các hàm số dưới đây:
5.2. Tính
5.3. Một vật rơi tự do theo phương trình
a] Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t = 5s đến t + $\Delta$t, ứng với mỗi trường hợp $\Delta$t cho như sau :
$\Delta$t = 0,1s; $\Delta$t = 0,05s; $\Delta$t = 0,001s.
b] Tìm vận tốc tức thời tại thời điểm t = 5s.
5.4. Cho hàm số y = $x^{2}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đó trong mỗi trường hợp sau:
a] Tiếp điểm là điểm [1; 1].
b] Tung độ của tiếp điểm bằng 4.
c] Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = - x + 2.
d] Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = $\large \frac{1}{2}$x + 1.
HƯỚNG DẪN GIẢI
5.1.
a] Cho số gia $\Delta$x tại $x_{0}$ = 2, ta có
5.2.
5.3. a] 49,49 m/s; 49,245 m/s; 49,005 m/s.
b] 49 m/s.
5.4. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = f[x] tại điểm [$x_{0}$; f[$x_{0}$]] là :
Ta có : y' = 2x. Từ đó :
a] Phương trình của tiếp tuyến tại tiếp điểm [1; 1] là
y - 1 = 2[x - 1] ⇔ y = 2x - 1.
b] Với $y_{0}$ = 4, suy ra
Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm.
• Với $x_{0}$ = 2 thì phương trình của tiếp tuyến là :
y - 4 = 4[x - 2] ⇔ y = 4[x - 1]
• Với $x_{0}$ = -2 thì phương trình của tiếp tuyến là
y - 4 = - 4[x + 2] ⇔ y = - 4[x + 1].
c] Hai đường thẳng song song với nhau [trừ trường hợp song song với trục tung] thì hệ số góc của chúng bằng nhau. Vì vậy ta có 2$x_{0}$ = -1 hay
d] Hai đường thẳng vuông góc với nhau [trừ trường hợp một trong hai đường thẳng đó vuông góc với trục hoành] khi và chỉ khi tích các hệ số góc của chúng bằng -1. Vì vậy ta có 2$x_{0}$.$\large \frac{1}{2}$ = -1 hay $x_{0}$ = -1 và $y_{0}$ = 1. Vậy phương trình của tiếp tuyến phải tìm là
y - 1 = -2[x + 1] ⇔ y = -2x - 1.
Đạo hàm là gì? Đạo hàm là tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại điểm x0. Giá trị của đạo hàm thể hiện chiều biến thiên của hàm số và độ lớn của biến thiên này. Đạo hàm có ý nghĩa hình học và vật lý.
Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại \[x_0\], khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số \[y = f[x]\] tại điểm \[x_0\].
Đạo hàm của hàm số \[y = f[x]\] được ký hiệu là \[y'[x_0]\] hoặc \[f'[x_0]\]:
\[f'[x_0] = \lim_{x\to x_0} \frac{f[x] - f[x_0]}{x - x_0}\]hoặc
\[y'[x_0] = \lim_{ \Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\]- Số gia của đối số là \[\Delta x = x - x_0\]
- Số gia của hàm số là \[\Delta y = y - y_0\]
Nói 1 cách dễ hiểu:
Đạo hàm bằng delta y chia delta x với delta x là rất nhỏ
giá trị đạo hàm tại 1 điểm \[x_0\] thể hiện:
- Chiều biến thiên của hàm số [đang tăng hay đang giảm, xem đạo hàm tại đây dương + hay âm -]
- Độ lớn của biến thiên này [ví dụ: đạo hàm bằng 1 => delta y tăng bằng delta x]
Đạo hàm một bên
- Đạo hàm bên trái của hàm số \[y=f[x]\] tại \[x_0\] là khi \[\Delta x\to 0^-\] [tức \[x\to x_0\] và nhỏ hơn \[x_0\]]
- Đạo hàm bên phải của hàm số \[y=f[x]\] tại \[x_0\] là khi \[\Delta x\to 0^+\] [tức \[x\to x_0\] và lớn hơn \[x_0\]]
- \[y=f[x]\] có đạo hàm tại \[x_0\] \[f'[x_0] = f'[x_0^-] = f'[x_0^+]\]
Có đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Hàm số liên tục
Hàm số \[y=f[x]\] được gọi là liên tục tại \[x_0\] nếu \[\lim_{x\to x_0} f[x] = f[x_0]\]
Chú ý: \[y=f[x]\] liên tục tại \[x_0\] nếu thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện sau:
- \[f[x]\] xác định tại \[x_0\].
- \[\lim_{x\to x_0} f[x]\] tồn tại.
- \[\lim_{x\to x_0} f[x] = f[x_0]\].
Nhắc lại giới hạn của hàm số: Giới hạn của hàm số - lim
Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
- Nếu hàm số \[y=f[x]\] có đạo hàm tại điểm \[x_0\] thì nó liên tục tại điểm đó.
- Nếu hàm số không liên tục tại \[x_0\] thì không có đạo hàm tại điểm đó.
Lưu ý: Hàm số liên tục tại điểm \[x_0\] thì chưa chắc có đạo hàm tại \[x_0\]
Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa hình học
Đạo hàm của hàm số f[x] tại điểm \[x_0\] là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \[M[x_0, f[x_0]]\] đó.
=> Phương trình của tiếp tuyến tại điểm M: \[y - y_0 = f'[x_0] [x - x_0]\]
Ý nghĩa vật lý
Xét chuyển động thẳng \[s = f[t]\]
Khi đó vận tốc tức thời tại thời điểm \[t_0\] là: \[v[t_0] = s'[t_0] = f'[t_0]\]
Còn gia tốc tức thời tại thời điểm \[t_0\] là đạo hàm cấp 2 của phương trình chuyển động:
\[a[t_0] = f''[t_0]\]Giả sử điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:
\[Q = f[t]\]Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \[t_0\]: \[I[t_0] = Q'[t_0] = f'[t_0]\]
Bài tập đạo hàm: Tổng hợp các dạng bài tập đạo hàm [2018]
Ta thường nghe đến vi phân sau khi học đạo hàm. Mời bạn tham khảo bài Vi phân là gì? để nắm định nghĩa ngắn gọn nhất về nó.
Các bài viết tham khảo thêm về Toán học: