Viết phương trình đường thẳng khi biết khoảng cách

Mặt khác đường thẳngtạo với trụcOxmột góc $\alpha $với $cos\alpha =\frac{1}{3\sqrt{10}}$ nên

$\frac{\left| a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{1}{3\sqrt{10}}\Leftrightarrow {{b}^{2}}=89{{a}^{2}}-{{c}^{2}}$(2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình $85{{a}^{2}}+8ac-5{{c}^{2}}=0$(3)

Với c = 0, suy ra a = 0, b = 0 (không thỏa mãn)

Với $c\ne 0$, ta có (3) $\Leftrightarrow 5{{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}+8\frac{a}{c}-5=0\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{1}{5}$hoặc $\frac{a}{c}=-\frac{5}{17}$

nVới $\frac{a}{c}=\frac{1}{5}$, ta chọn $a=1,c=5\Rightarrow b=-8$. Suy ra phương trình $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-8}=\frac{z+2}{5}$

nVới $\frac{a}{c}=-\frac{5}{17}$, ta chọn $a=5,c=-17\Rightarrow b=44$. Suy ra phương trình $\Delta :\frac{x-1}{5}=\frac{y}{44}=\frac{z+2}{-17}$

Chọn A.

Bài tập 4:Trong không gian tọa độ cho mặt cầu $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$và điểm $M(2;0;-2)$. Phương trình đường thẳngdtiếp xúc với(S)tạiMvà tạo với mặt phẳng $(P):x+y-3=0$một góc ${{30}^{\circ }}$là:

A.$d:\left\{ \begin{array}{} x=2 \\{} y=t \\{} z=-2+t \\ \end{array} \right.$B.$d:\left\{ \begin{array}{} x=2 \\{} y=t \\{} z=-2-t \\ \end{array} \right.$C.$d:\left\{ \begin{array}{} x=2 \\{} y=-t \\{} z=-2+t \\ \end{array} \right.$D.$d:\left\{ \begin{array}{} x=2 \\{} y=-t \\{} z=-2-t \\ \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Gọi ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=(a;b;c),({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳngd

Mặt cầu(S)có tâm $I(1;-2;0)$. Vì đường thẳngdtiếp xúc với mặt cầu(S)tạiMnên:

Ta có: $\overrightarrow{IM}=(1;2;-2)\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\Leftrightarrow a+2b-2c=0\Leftrightarrow a=2c-2b$

Mặt khác đường thẳngdtạo với mặt phẳng(P)một góc ${{30}^{\circ }}$ nên:

Ta có: $\sin {{30}^{\circ }}=cos\left( \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right)=\frac{\left| a+b \right|}{\sqrt{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| 2c-b \right|}{\sqrt{2}\sqrt{5{{b}^{2}}+5{{c}^{2}}-8bc}}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2{{(b-2c)}^{2}}=5{{b}^{2}}+5{{c}^{2}}-8bc\Leftrightarrow 3{{b}^{2}}=3{{c}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} b=c \\{} b=-c \\ \end{array} \right.$

nVớib = cchọn $b=c=1;a=0$ ta có: $d:\left\{ \begin{array}{} x=2 \\{} y=t \\{} z=-2+t \\ \end{array} \right.$

nVớib = - cchọn $b=-1;c=1;a=4$ta có: $d:\left\{ \begin{array}{} x=2+4u \\{} y=-u \\{} z=-2+u \\ \end{array} \right.$.Chọn A.

Bài tập 5:Trong không gian tọa độ cho mặt cầu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y+6z-12=0$và đường thẳng $(d):x=5+2t;y=4;z=7+t$. Phương trình đường thẳngtiếp xúc với mặt cầu(S)tại điểm $M(5;0;1)$vàtạo vớidgóc $\varphi $ sao cho $cos\varphi =\frac{1}{\sqrt{7}}$là:

A.$\left\{ \begin{array}{} x=5-3t \\{} y=-5t \\{} z=1-t \\ \end{array} \right.$B.$d:\left\{ \begin{array}{} x=5+3t \\{} y=5t \\{} z=1-t \\ \end{array} \right.$C.$d:\left\{ \begin{array}{} x=5+3t \\{} y=-5t \\{} z=1-t \\ \end{array} \right.$D.$d:\left\{ \begin{array}{} x=5-3t \\{} y=-5t \\{} z=1+t \\ \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Ta có $(S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+3)}^{2}}=26\Rightarrow (S)$có tâm $I(2;-1;-3)$và bán kính $R=\sqrt{26}$

$\overrightarrow{IM}=(3;1;4),\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;0;1)$là 1 VTCP củad.

Giả sử ${{\overrightarrow{u}}_{2}}=(a;b;c)$ là 1 VTCP của đường thẳng, $({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0)$

Dotiếp xúc với mặt cầu(S)tạiM$\Rightarrow \overrightarrow{IM}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}}\Leftrightarrow 3a+b+4c=0\Leftrightarrow b=-3a-4c$ (1)

Mà góc giữa đường thẳngvà đường thẳngdbằng $\varphi $

$\Rightarrow \left| cos\left( \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=cos\varphi \Leftrightarrow \frac{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}=\frac{1}{\sqrt{7}}\Leftrightarrow \frac{\left| 2a+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{7}}$ (2)

Thay (1) và (2) ta được $\sqrt{7}\left| 2a+c \right|=\sqrt{5}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{(3a+4c)}^{2}}+{{c}^{2}}}$

$\Leftrightarrow 7(4{{a}^{2}}+4ac+{{c}^{2}})=5({{a}^{2}}+9{{a}^{2}}+24ac+16{{c}^{2}}+{{c}^{2}})\Leftrightarrow 22{{a}^{2}}+92ac+78{{c}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} a=-3c \\{} a=-\frac{13}{11}c \\ \end{array} \right.$

Với $a=-3c$, do ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0\Rightarrow c\ne 0$. Chọn $c=-1\Rightarrow a=3;b=-5\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}{} x=5+3t \\{} y=-5t \\{} z=1-t \\ \end{array} \right.$

Với $a=-\frac{13}{11}c$ chọn $c=-11\Rightarrow a=13;b=5\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}{} x=5+3t \\{} y=5t \\{} z=1-11t \\ \end{array} \right.$.Chọn C.