Ước lượng trung bình tổng thể bằng khoảng tin cậy năm 2024

Trong phần trước, ta đã xem xét ảnh hưởng của độ tin cậy (hay mức ý nghĩa `alpha`) đến khoảng ước lượng. Ta cũng biết rằng một yếu tố khác cũng có ảnh hưởng đến khoảng ước lượng là phân phối của thông số cần ước lượng. Trong phần này, ta tìm cách xác định khoảng ước lượng cho trung bình, tỷ lệ và phương sai khi chịu tác động của các yếu tố trên.

Khoảng tin cậy của trị trung bình

Phân phối Student

Xét tổng thể có trung bình `mu` và độ lệch chuẩn `sigma`. Lấy từ tổng thể này ra mẫu có `n` phần tử. Mẫu này có trung bình `bar x` và độ lệch chuẩn `s`. Do mẫu lấy ngẫu nhiên nên các thông số này của mẫu cũng là các biến ngẫu nhiên. Trong phần khảo sát về phân phối của các số thống kê ta biết rằng biến số:

`t=((bar x-mu)sqrt(n))/s`(10)

có phân phối Student.

Ước lượng khoảng cho trung bình

Sau khi đã xác định được các giá trị trung bình `bar x` và độ lệch chuẩn `s` của mẫu có kích thước là `n`, thì khoảng ước lượng của `mu` với độ tin cậy `1-alpha` là :

`bar x-t_(alpha//2,\ nu)s/sqrt(n)<=mu<=bar x+t_(alpha//2,\ nu)s/sqrt(n)`(11)

trong đó `nu=n-1` là độ tự do, giá trị của `t_(alpha//2,\ nu)` được tra trong bảng phân vị Student.

Thí dụ

Khi đo chi phí nhiên liệu của 20 xe máy thuộc model M do công ty C sản xuất, ta thu được quãng đường trung bình đi được cho mỗi lít xăng A92 là 54,2 km với độ lệch chuẩn là 6,3 km. Hãy ước lượng quãng đường đi được trung bình của model này cho mỗi lít xăng A92 với độ tin cậy là 95%.

Ta có : `alpha=0,05` ; `alpha//2=0,025` ; `nu=n-1=20-1=19`

Tra bảng phân vị Student với độ tự do `nu=19` và `a=0,025` ta có `t_(0,025,\ 19)=2,093`

Vậy : `t_(0,025,\ 19)xx(6,3)/sqrt(20)=2,948`

Vì thế với độ tin cậy 95%, quãng đường đi được trung bình cho mỗi lít xăng A92 của xe máy model M thuộc khoảng ((54,2-2,9) - (54,2+2,9)) km hay (51,3 - 57,1) km.

Các trường hợp riêng

• Nếu mẫu lớn, ta có thể dùng `z_(alpha//2)` thay vì `t_(alpha//2)`
• Nếu đã biết `sigma`, ta sử dụng `sigma` thay vì `s`

  Khoảng tin cậy của tỷ lệ

  Phân phối của tỷ lệ

  Xét tổng thể có tỷ lệ các phần tử có tính chất A là `pi`. Lấy một cách ngẫu nhiên từ tổng thể ấy mẫu có `n` phần tử (`n>=30`). Kết quả khảo sát trên mẫu cho thấy tỷ lệ các phần tử có tính chất A là `p`. Do lấy mẫu ngẫu nhiên nên `p` cũng là biến ngẫu nhiên. Với số lần lấy mẫu đủ lớn, `p` có phân phối chuẩn với trung bình là `pi`.

  Ước lượng tỷ lệ

  Với độ tin cậy `1-alpha`, khoảng ước lượng cho tỷ lệ `pi` các phần tử của tổng thể có tính chất A là:

  `p-z_(alpha//2)sqrt((p(1-p))/n)<=pi<= p+z_(alpha//2)sqrt((p(1-p))/n))`(12)

  với `p` là tỷ lệ phần tử có tính chất A của mẫu, `n` là số phần tử của mẫu (`n>=30`).

  Thí dụ

  Để đánh giá mức độ sử dụng máy điều hòa tại quận Q, người ta điều tra một mẫu gồm 150 gia đình. Kết quả điều tra cho thấy có 48 gia đình sử dụng máy điều hòa. Với độ tin cậy là 95%, hãy ước lượng tỷ lệ gia đình sử dụng máy điều hòa tại quận Q.

  Tỷ lệ gia đình sử dụng máy điều hòa của mẫu là: `p=48/150=0,32`

  Ta có : `alpha=0,05` ; `alpha//2=0,025`

  Sử dụng bảng phân vị Student với `a=0,025` và dòng cuối cùng (độ tự do vô cùng lớn), ta có `z_(0,025)=1,96`

  Vậy : `z_(alpha//2)sqrt((p(1-p))/n)=1,96xxsqrt((0,32xx0,68)/150)=0,0747`

  Do đó `pi` thuộc khoảng ((0,3200-0,0747) - (0,3200+0,0747))

  Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ gia đình sử dụng máy điều hòa ở quận Q được ước lượng trong khoảng 24,53% đến 39,47%

  Khoảng tin cậy của phương sai

  Khi ước lượng phương sai, ta cũng lý luận tương tự như hai trường hợp trên của trung bình và tỷ lệ. Điểm khác biệt ở đây là phương sai liên kết với phân phối `chi^2`. Do đó khoảng ước lượng của phương sai với độ tin cậy `1-alpha` là:

  `((n-1)s^2)/(chi_(alpha//2,\ n-1)^2)<=sigma^2<=((n-1)s^2)/(chi_(1-alpha//2,\ n-1)^2)`(13)

  trong đó `nu=n-1` là độ tự do, `chi_(1-alpha//2,\ n-1)^2` và `chi_(alpha//2,\ n-1)^2`được xác định từ bảng phân vị `chi^2`.

  Nội dung phần này

  Dùng SPSS để xây dựng Khoảng tin cậy cho trung bình, trường hợp:

  • Ước lượng trung bình của một tổng thể
  • Ước lượng sai khác trung bình của hai tổng thể
    • Hai tổng thể độc lập
    • Hai tổng thể không độc lập

  Bài blog này sẽ giải thích cách tính khoảng tin cậy (confidence interval) cho trung bình. Bài đề cập đến các khái niệm phân phối chuẩn và khoảng tin cậy cho tỷ lệ trong hai bài blog trước. Các bạn có thể đọc ở đây:

  1. Phân phối chuẩn và các giá trị thống kê https://blog.vietnamlab.vn/2019/12/20/cac-loai-phan-phoi-va-tinh-chat/
  2. Khoảng tin cậy cho tỉ lệ https://blog.vietnamlab.vn/2020/06/23/toan-thong-ke-2/

  Công thức

  Công thức tính khoảng tin cậy cho trung bình sử dụng độ lệch chuẩn của tổ hợp

  Công thức tính khoảng tin cậy cho trung bình là như sau: Để tính khoảng tin cậy của trung bình cho một tập dữ liệu đầu tiên ta sẽ lấy một mẫu dữ liệu trước. Từ mẫu dữ liệu đó ta sẽ lấy trung bình cộng của mẫu dữ liệu. Sau đó ta sẽ tính z-score dựa vào mức tin cậy. Ví dụ như hình dưới đây với mức tin cậy là 95% trong phân phối mẫu của trung bình mẫu, sẽ được thể hiện bằng diện tích màu đỏ giữa hai gạch đỏ. Với phần lớn dữ liệu, nếu ta tập hợp thật nhiều mẫu, tính trung bình của các mẫu rồi vẽ phân phối của trung bình, ta sẽ vẽ được một phân phối như trong hình. Về lý thuyết, trung bình của phân phối mẫu sẽ bằng trung bình của tổ hợp. Mức tin cậy là khả năng trung bình của tập hợp nằm giữa hai giá trị trong phân phối của trung bình mẫu. Hai giá trị này, được thể hiện bằng hai đường gạch màu đỏ cắt với trục X, có cùng khoảng cách với trung bình. Mức tin cậy bằng 95% có nghĩa là ta phải tìm hai đường gạch đỏ (đối xứng tại trung bình) như thế nào để khả năng trung bình của tập hợp nằm giữa hai giá trị là 95% (diện tích dưới đường cong). Ví dụ tìm z-score với mức tin cậy là 95%. Cách thứ nhất ta có thể dùng luật 68, 95, và 99.7 (có thể xem trên wiki). Vì diện tích dưới đường cong ở giữa là 95%, z-score là gần bằng -2 bên trái và 2 bên phải. Một cách khác, ta có thể tìm diện tích dưới đường cong bên tay trái phân phối (diện tích màu xanh bên trái hình). Diện tích đó sẽ là: (100% - 95%)/2 = 2.5% = 0.025. Sử dụng z-table và z-score của diện tích bên trái sẽ cho kết quả -1.96, làm tròn thành -2. Z-score bên phải sẽ là giá trị tuyệt đối của -2 bằng 2. Cách sử dụng z-table có thể thấy như hình bên dưới. Cuối cùng ta sẽ tính độ lệch chuẩn của trung bình trong phân phối mẫu bằng độ lệch của tổ hợp dữ liệu chia cho căn bậc hai của số dữ liệu trong mẫu dữ liệu. Sau khi tính được các giá trị trên các bạn có thể cộng trừ nhân chia như công thức trên để tính khoảng tin cậy trong trường hợp ta biết độ lệch chuẩn của tổ hợp dữ liệu.

  Công thức tính khoảng tin cậy cho trung bình sử dụng độ lệch chuẩn của mẫu

  Điểm cần lưu ý là rất ít trường hợp chúng ta biết được độ lệch chuẩn của tổ hợp dữ liệu. Nên bình thường ta sẽ sử dụng độ lệch chuẩn của mẫu thay bằng độ lệch chuẩn của tổ hợp để đưa ra kết quả tương tự. Công thức tính độ lệch chuẩn cho phân phối của trung bình mẫu sử dụng độ lệch chuẩn của mẫu: Tuy nhiên các nhà toán học qua thí nghiệm thống kê thấy, nếu sử dụng độ lệch chuẩn của mẫu để tính độ lệch chuẩn cho trung bình như ở trên, sẽ đưa ra khoảng tin cậy không chính xác. Họ thấy nếu sử dụng độ lệch chuẩn của mẫu thay bằng độ lệch chuẩn của tổ hợp, thì sử dụng t-score sẽ chính xác hơn so với z-score. Ta sẽ có công thức ước lượng khoảng tin cậy sử dụng độ lệch chuẩn của dữ liệu mẫu: Để nhớ lại. Z-score và T-score làm cùng nhiệm vụ: tìm khoảng cách từ một giá trị bất kỳ đến trung bình trong một phân phối. Điểm khác nhau là z-score sử dụng cho phân phối Z. T-score sử dụng cho phân phối T, là phân phối có đuôi phình hơn phân phối Z. Một điểm cần lưu ý nữa. Để sử dụng t-score ta phải biết bậc tự do (degrees of freedom). Bậc tự do = số dữ liệu mẫu - 1. Ví dụ trong mẫu của chúng ta có 10 dữ liệu và ta muốn tìm t-score với mức tin cậy là 95%. Bậc tự do sẽ là 10 -1 = 9, diện tích dưới đường cong ở bên trái sẽ là (100% - 95%)/2 = 2.5% = 0.025. Bạn cũng có thể sử dụng trức tiếp mức tin cậy là 95% thay bằng diện tích dưới đường cong bên trái (0.025). Sử dụng t-table như bên dưới ta sẽ tìm được t-score là 2.262.

  Vậy khi tính giới hạn lỗi cho trung bình, ta có thể sử dụng z-score với dộ lệch chuẩn của tổ hợp, và t-score với độ lệch chuẩn của mẫu.

  Bài toán

  Sử dụng công thức ở trên, ta sẽ giải một bài toán về khoảng tin cậy sử dụng python.

  Một nhà chuyên gia dinh dưỡng nghiên cứu về số ca-lo trong bánh mì kẹp thịt của chuỗi nhà hàng nổi tiếng. Nhà chuyên gia lấy một mẫu ngẫu nhiên gồm 14 bánh mì kẹp thịt và đo số ca-lo. Mẫu dữ liệu có phân bố gần đối xứng, giá trị trung bình là 700 ca-lo và độ lệch chuẩn là 50 ca-lo. Hỏi với mẫu dữ liệu này, với mức độ tin cậy là 95%, khoảng cách tin cậy cho trung bình số ca-lo của bánh mì kẹp thịt này là bao nhiêu?

  Tập hợp lại các thông tin từ bài toán

      sample_mean = 700
      sample_stddev = 50
      n_size = 14
      confidence_level = 0.95
  

  Tính các giá trị để tính t-value: bậc giá trị và diện tích đường cong bên tay trái

      # Tính bậc tự do
      degrees_of_freedom = n_size - 1
      # Tính xác xuất giá trị nằm bền trái t-value trong phân phối t (t-distribution)
      one_tailed_prob = (1 - 0.95)/2
      one_tailed_prob # 0.025
  

  Sau đó chúng ta tính t-value.

      # Tính t-value 
      t_value = stats.t.ppf(1 - one_tailed_prob, degrees_of_freedom)
      t_value # 2.1603686564610127
  

  Tính độ lệch chuẩn cho phân phối mẫu của trung bình mẫu

      from math import sqrt
      sampling_dist_mean_stddev = sample_stddev/sqrt(n_size)
      sampling_dist_mean_stddev # 13.363062095621219
  

  Tính khoảng tin cậy

      confidence_interval_1 =  sample_mean - (t_value*sampling_dist_mean_stddev)
      confidence_interval_2 =  sample_mean + (t_value*sampling_dist_mean_stddev)
      confidence_intervals = (confidence_interval_1, confidence_interval_2)
      confidence_intervals # (671.1308594942777, 728.8691405057223)
  

  Tính khoảng tin cậy bằng function có sẵn trong scipy. Lưu ý là chúng ta sử dụng độ lệch chuẩn của phân phối mẫu trong trung bình mẫu (sampling_dist_mean_stddev), không phải độ lệch chuẩn của mẫu (sample_stddev).

      from scipy.stats import t
      check_confidence_intervals = t.interval(alpha=confidence_level, df=degrees_of_freedom, loc=sample_mean, scale=sampling_dist_mean_stddev)
      check_confidence_intervals # (671.1308594942777, 728.8691405057223)
  

  Có thể thấy là chúng ta tính đúng vì kết quả ở trên giống với kết quả này. Vậy khoảng tin cậy trung bình sẽ gần bằng (671, 729)

  Phân tích kết quả Với mức tin cậy là 95%, khoảng tin cậy cho trung bình chúng ta tìm được là (671, 729). Điều này có nghĩa là ta có thể tự tin 95% là trung bình calo trong toàn bộ bánh mì kẹp thịt của cửa hàng này sẽ nằm trong khoảng từ 671 và 729 calo

  Kết luận

  Hi vọng với bài blog này các bạn hiểu được cách tính và phân tích khoảng tin cậy cho trung bình. Chúc các bạn may mắn trong việc áp dụng vào dự án.