Toán cao cấp Chương 2: hệ phương trình tuyến tính

36

1 MB

0

16

Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu

Đang xem trước 10 trên tổng 36 trang, để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên

➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính §1. Hệ phương trình tổng quát §2. Hệ phương trình thuần nhất …………………………………………………………… §1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT 1.1. Định nghĩa Hệ gồm n ẩn x i (i 1,2,..., n ) và m phương trình: a11x 1 a12x 2 ... a1n x n b1 a21x 1 a22x 2 ... a2n x n b2 (I ) .......................................... am 1x 1 am 2x 2 ... amn x n bm trong đó, hệ số aij , bj (i 1,..., n; j 1,..., m), được gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát. ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Đặt: A B a11 ... a1n ... ... ... am 1 ... amn b1 ... bm T aij và X m n , x 1 ... x n T lần lượt là ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự do và ma trận cột ẩn. Khi đó, hệ (I ) trở thành AX B . • Bộ số 1 ... T n hoặc được gọi là nghiệm của (I ) nếu A 1 ; ...; B. n ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 1. Cho hệ phương trình: x 1 x 2 2x 3 2x 1 2x 2 x 2 4x 3 7x 3 5. 4x 4 4 3 Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận: x1 1 1 2 4 4 x2 2 1 4 0 3 x3 0 2 7 0 5 x4 và (1; 1; 1; 1) là 1 nghiệm của hệ. ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 1.2. Định lý Crocneker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính AX mở rộng là A Định lý Hệ AX AB B . Gọi ma trận a11 a12 ... a1n b1 ... ... ... ... ... . am 1 am 2 ... amn bm B có nghiệm khi và chỉ khi r (A) Trong trường hợp hệ AX ▪ Nếu r (A) ▪ Nếu r (A) r (A). B có nghiệm thì: n : kết luận hệ có nghiệm duy nhất; n : kết luận hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n r tham số. ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 2. Tùy theo điều kiện tham số m , hãy biện luận số nghiệm của hệ phương trình: x my 3z 0 (1 2 m )z m 1. Giải. Hệ đã cho có 3 ẩn, ta có: 1 m 1 m 3 A 2 , A 0 0 1 0 0 1 m 3 0 2 m m 1 • Nếu m 1 thì r (A) r (A) 1 3 . Ta suy ra hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số. . ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • Nếu m 1 thì r (A) 1 2 r (A). Ta suy ra hệ vô nghiệm. • Nếu m 1 thì r (A) r (A) 2 3. Ta suy ra hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số. ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 3. Điều kiện của tham số m để hệ phương trình: mx 8z 7t m 1 3x my 2z 4t m mz 5t 5z mt có nghiệm duy nhất là: A. m 0 ; B. m 1; C. m m2 2m 1 2 1; D. m 5. ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Giải. Hệ có 4 ẩn và ma trận hệ số là: m 0 8 7 3 m 2 4 . A 0 0 m 5 0 0 5 m Hệ có nghiệm duy nhất det A 2 m (m 0 2 25) r (A) 4 m 0 m 3 m 5 0 m 5 m 0 0 A. ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 1.3. Phương pháp giải hệ phương trình tổng quát a) Phương pháp ma trận (tham khảo) Cho hệ phương trình tuyến tính AX B , với A là ma trận vuông cấp n khả nghịch. Ta có: 1 AX B X A B. VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp ma trận: 2x y z 1 y 3z 3 2x y z 1. ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Giải. A 2 1 0 1 2 1 1 3 1 A 1 1 3 2 1 1 1 Hệ phương trình X A B x 1 1 2 1 1 y 3 2 3 3 2 z 1 0 1 1 x Vậy hệ đã cho có nghiệm y z 3, 6, 1. 1 2 0 x y z 2 3. 1 3 6 . 1

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Home - Video - Toán cao cấp 1 | Chương 2 ✅ Bài 2 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát | Nguyễn Công Nhựt

Prev Article Next Article

Link tải App bài tập, đề thi Trắc nghiệm xác suất thống kê và toán cao cấp …

source

Xem ngay video Toán cao cấp 1 | Chương 2 ✅ Bài 2 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát | Nguyễn Công Nhựt

Link tải App bài tập, đề thi Trắc nghiệm xác suất thống kê và toán cao cấp …

“Toán cao cấp 1 | Chương 2 ✅ Bài 2 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát | Nguyễn Công Nhựt “, được lấy từ nguồn: https://www.youtube.com/watch?v=ZHdDm2rXq5A

Tags của Toán cao cấp 1 | Chương 2 ✅ Bài 2 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát | Nguyễn Công Nhựt: #Toán #cao #cấp #Chương #Bài #Hệ #phương #trình #tuyến #tính #tổng #quát #Nguyễn #Công #Nhựt

Bài viết Toán cao cấp 1 | Chương 2 ✅ Bài 2 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát | Nguyễn Công Nhựt có nội dung như sau: Link tải App bài tập, đề thi Trắc nghiệm xác suất thống kê và toán cao cấp …

Từ khóa của Toán cao cấp 1 | Chương 2 ✅ Bài 2 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát | Nguyễn Công Nhựt: toán cao cấp

Thông tin khác của Toán cao cấp 1 | Chương 2 ✅ Bài 2 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát | Nguyễn Công Nhựt:
Video này hiện tại có 1415 lượt view, ngày tạo video là 2021-04-08 21:00:19 , bạn muốn tải video này có thể truy cập đường link sau: https://www.youtubepp.com/watch?v=ZHdDm2rXq5A , thẻ tag: #Toán #cao #cấp #Chương #Bài #Hệ #phương #trình #tuyến #tính #tổng #quát #Nguyễn #Công #Nhựt

Cảm ơn bạn đã xem video: Toán cao cấp 1 | Chương 2 ✅ Bài 2 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát | Nguyễn Công Nhựt.

Prev Article Next Article

1. 10/11/2019 NỘI DUNG  Hệ phương trình, dạng ma trận, nghiệm Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss  Giải và biện luận hệ Cramer Hệ phương trình thuần nhất  Ứng dụng HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHƯƠNG 2 TUYẾN TÍNH 10/10/2019 1 10/10/2019 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng tổng quát Dạng ma trận a11x 1 a12x 2 ... a1n x n b1 a11 a12 ... a1n x1 b1 a21x 1 a 22x 2 ... a 2n x n b2 a21 a22 ... a2n x2 b2 ............................................... ...................... ... ... am 1x 1 am 2x 2 ... amn x n bm am 1 am 2 ... amn xn bm aij gọi là các hệ số bj: hệ số tự do A X B 10/10/2019 3 10/10/2019 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MỘT SỐ KHÁI NIỆM Dạng ma trận  Nếu số phương trình bằng số ẩn và detA≠0  Hệ Crammer A X B  Nếu hệ số tự do triệt tiêu  Hệ thuần nhất Ma trận A gọi là ma trận hệ số.  Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương đương nếu X: ma trận cột các ẩn số chúng có cùng tập nghiệm. B: ma trận hệ số tự do hay cột tự do  Ma trận hệ số bổ sung hay ma trận mở rộng Nghiệm của phương trình là một bộ số:  a11 a12 a1n b1  x1, x 2,..., x n c1, c2,..., cn   a a22 a2 n b2  Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình trong hệ đều thỏa A   A B    21 Augmented matrix mãn.      am1 am 2 amn bm  10/10/2019 5 10/10/2019 6 1
2. 10/11/2019 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM VÍ DỤ Các hệ phương trình sau có nghiệm hay không? x 2 2x 3 1 x 1 2x 2 x 3 4x 4 2  a11 a12 a1n b1    a) x1 x 3 2 b) 2x 1 x 2 x3 x4 1   a a22 a2 n b2  A   A B    21  r A  r  A 2x 1 2x 2 2x 3 1 x 1 7x 2 4x 3 11x 4 5      am1 am 2 amn bm  x 1 2x 2 x 3 2 2x 1 x 2 4x 3 1  a11 a12 a1n b1  c)   3x 1 4x 2 x 3 0  a21 a22   a2 n b2   r A  r  A x 1 2x 2 4x 3 1     0 0 0 b  0 10/10/2019 7 10/10/2019 8 VÍ DỤ 2 HỆ CRAMER  Phương pháp ma trận nghịch đảo A.X B X A 1.B Phương pháp định thức Định lý. Hệ Cramer với ma trận hệ số là A có nghiệm duy nhất và nghiệm của nó được xác định bởi: xi=Di/D. Trong đó D=detA và Di là định thức của ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do. det Ai Di xi det A D 10/10/2019 9 10/10/2019 10 HỆ CRAMER – SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC HỆ CRAMER – SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC a11 a12 ... a1n b1 b1 a12 ... a1n Vì detA khác 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo A -1. Do đó: a21 a22 ... a2n b2 b2 a22 ... a2n A ...................... ;B ... A1 ...................... A.X B X A 1.B Ta có: an 1 an 2 ... ann bn bn an 2 ... ann b1 a12 ... a1n b2 a22 ... a2n D1 det A1 .................... bn an 2 ... ann 10/10/2019 11 10/10/2019 12 2
3. 10/11/2019 VÍ DỤ 3 VÍ DỤ 3 Cách 2. Ta có: Giải hệ phương trình sau: Ta tính được: Giải. Cách 1. Ta có: Vậy nghiệm của hệ là: Vậy hệ có nghiệm duy nhất.  3 3 0  5  18  1  1 1   1 18   1  X  A1B  12 18 12 18    18        36   2  Nghiệm của hệ (1,1,-2)  12 6 6  5      10/10/2019 13 10/10/2019 14 VÍ DỤ 4 SỐ NGHIỆM CỦA HỆ TỔNG QUÁT Tìm điều kiện để hệ sau đây là hệ Cramer. Tìm nghiệm Cho hệ phương trình A.X=B với m phương trình và n ẩn. của hệ trong trường hợp này. i) Heä pt coù nghieäm duy nhaát r A r A n ii) Heä pt coù voâ soá nghieäm r A r A n iii) Heä pt voâ nghieäm r A r A iv) Heä pt coù nghieäm r A r A Trong trường hợp ii) hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n- r(A) tham số. 10/10/2019 15 10/10/2019 16 PP KHỬ GAUSS - JORDAN PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN - Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma  trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang. - Ở dạng này ta dễ dàng nhận biết hệ có nghiệm hay không và việc giải tìm nghiệm cũng đơn giản hơn. bdsc hang A AB Ar Ar B Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng? - - - 10/10/2019 17 10/10/2019 18 3
4. 10/11/2019 VÍ DỤ 5 VÍ DỤ 6  Giải và biện luận hệ phương trình: Giải. Ma trận hệ số bổ sung: 10/10/2019 19 10/10/2019 20 VÍ DỤ 6 BIỆN LUẬN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CRAMER Biện luận. Cho hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số A là ma trận vuông. Ñaët: D det A ; D1 det A1 ; ...; Dn det An i ) Neáu D 0 thì heä coù nghieäm duy nhaát: Di xi D ii ) Neáu D 0 vaø toàn taïi Di 0 thì heä voâ nghieäm. ii ) Neáu D D1 ... Dn 0 thì heä voâ nghieäm hoaëc voâ soá nghieäm. Ta giaûi tieáp baèng phöông phaùp Gauss. 10/10/2019 21 10/10/2019 22 VÍ DỤ 6 VÍ DỤ 7 Ta có: Giải và biện luận hệ phương trình sau m 1 1 1 1 1 D det A 1 m 1 D1 detA1 1 m 1 1 1 m 1 1 m mx 1 x 2 x3 1 ax y z 4 m 1 1 m 1 1 a ) x 1 mx 2 x3 m b) x by z 8 D2 detA1 1 1 1 D3 det A3 1 m 1 1 1 m 1 1 1 x1 x2 mx 3 m2 x 2by z 4 Sinh viên tự làm tiếp 10/10/2019 23 10/10/2019 24 4
5. 10/11/2019 HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT TÍNH CHẤT Hệ thuần nhất có dạng: 1. Hệ phương trình thuần nhất luôn luôn có nghiệm. a11 x1  a12 x2   a1n xn  0 2. (0,0,…,0) luôn là nghiệm của hệ, gọi là nghiệm tầm a x  a x   a x  0 thường.  21 1 22 2 2n n   3. Mọi tổ hợp tuyến tính các nghiệm của hệ thuần nhất am1 x1  am 2 x2   amn xn  0 cũng là nghiệm. Do đó, hệ thuần nhất hoặc chỉ có nghiệm tầm thường hoặc có vô số nghiệm. Hoặc dạng ma trận: A. X  0   Ma trận mở rộng: A   A | 0   r A  r  A  Q. Khi nào thì hệ có nghiệm tầm thường? Vô số nghiệm? Để thuận tiện ta chỉ xét và biến đổi trên ma trận A. A. 10/10/2019 25 10/10/2019 26 VÍ DỤ 8 VÍ DỤ 8 Giải hệ phương trình Hệ đã cho tương đương với hệ: Giải. Xét ma trận hệ số của phương trình. Tập nghiệm của hệ là: Nghiệm cơ sở (basic solutions): 8, 6,1,0  ;  7,5,0,1 10/10/2019 27 10/10/2019 28 BÀI 1 BÀI 2 Giải các phương trình sau Cho hai ma trận: x1 x 2 x 3 x 4 0  1 2 3   1 2 1 x 1 2x 2 2x 3 1 A   3 2 4  B   3 1 0  3x 1 x 2 x 3 2x 4 5 a ) 2x 1 3x 2 6x 3 1 b)  2 1 0  2 1 1  5x 1 x 2 x 3 4     x 1 x 2 7x 3 m 7x 1 x 2 x 3 3x 4 10 Tìm ma trận nghịch đảo của A. Tìm X biết: X.A=3B 10/10/2019 29 10/10/2019 30 5
6. 10/11/2019 BÀI 3 BÀI 4 Giải các hệ phương trình sau Tìm m để ma trận sau khả nghịch 2x y 3z 9 x y z 6 a ) 3x 5y z 4 b) 2x 3y 4z 21 1 1 m  4x 7y z 5 7x y 3z 6  A  1 m 1   1 m  1 m  1 2x 1 2x 2 x3 x4 4   4x 1 3x 2 x 3 2x 4 6 c) 8x 1 5x 2 3x 3 4x 4 12 3x 1 3x 2 11x 3 5x 4 6 10/10/2019 31 10/10/2019 32 BÀI 5 BÀI 6 Cho hệ phương trình tuyến tính. Giải và biện luận theo m x y mz 1  x1  x2  mx3  m  x my z a a)  m x1  2 x2   2m  2  x3  4  x (m 1)y (m 1)z b  x1  x2  3x3  m2  3m  3 A) Tìm a, b để hệ có nghiệm duy nhất mx  y zm B) Tìm a, b để hệ trên có nghiệm với mọi m  b) 2 x  (m  1) y  (m  1) z  m  1  x y mz  1  10/10/2019 33 10/10/2019 34 ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ GIẢI Công ty Honda có hai đại lý bán xe X và Y. Hai đại lý này chỉ Ta có: chuyên bán xe Dream II và xe môtô. Doanh số bán hàng trong tháng 8 & 9 của 2 đại lý được ghi lại như sau: 90000 180000  X a) A  B   Tháng 8 Tháng 9 126000 108000  Y Dream II Môtô Dream II Môtô Đại lý X $ 18,000 $ 36,000 Đại lý X $ 72,000 $ 144,000 54000 108000  X b) B  A   Đại lý Y $ 36,000 $0 Đại lý Y $ 90,000 $ 108,000 54000 108000  Y a/ Tính toán doanh số trong 2 tháng 8 và 9 cho mỗi đại lý và mỗi 3600 7200  X loại xe. c)5%.B    4500 5400  Y b/ Tính sự gia tăng doanh số từ tháng 8 đến tháng 9. c/ Nếu tiền huê hồng Công ty Honda trả cho đại lý là 5% doanh thu. Tính tiền huê hồng của mỗi đại lý cho mỗi loại xe nhận được trong tháng 9. 10/10/2019 35 10/10/2019 36 6
7. 10/11/2019 ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ VÍ DỤ  a/ Kích thước của M, N và M*N Số giờ công lao động cho mỗi sản phẩm được cho như sau:  b/ Tính M*N và giải thích kết quả. cut assemble package  Giải. 0.6 0.6 0.2 product A 9 11  product A  A) M  1.0 0.9 0.3 product B M .N  14.1 17.2  product B  B) Ta có: 1.5 1.2 0.4  product C 19.8 24.1 product C Tiền lương tính theo giờ: 6   Factory Factory a11   0.6 0.60.2   8   9$ I II 3   6 7  cut  a11: chi phí lao động cho sản phẩm A tại nhà máy I. N  8 10  assemble  Bảng kết quả của M*N cho thấy rằng chi phí lao động cho mỗi sản phẩm tại mỗi nhà máy. 3 4  package 10/10/2019 37 10/10/2019 38 BÀI 1 BÀI 2 A) Giải phương trình: A) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm 3x 2  x 2 x 2  x1  x2  x3  1 1 2 3 4  0  x1  ax2  3x3  2 3 2 2 2 2 x  3x  ax  3  1 2 3 9 2 3 18 B) Tìm ma trận nghịch đảo: B) Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất: 1 2 3    1 m 1 2  A  2 5 3   1 B   2 1 m 5   0 8   1 10 6 1    10/10/2019 39 10/10/2019 40 7

nguon tai.lieu . vn