Tìm m de 2 điểm cực trị cách đều đường thẳng
Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Giới thiệu tới bạn 11 dạng bài cực trị hàm số được trình bày công phu: cơ sở lý thuyết; phương pháp; ví dụ minh họa; bài tập vận dụng; Hy vọng bài viết này hữu ích với các em. Show
Dạng 1: Tìm m để hàm số có cực đại hoặc cực tiểu hoặc có cực đại và cực tiểuCho hàm số y = f(x) liên tục trên (a,b) , x0là một điểm thuộc (a;b). Nếu y đổi dấu khi đi qua x0thì ta nói: Hàm số f đạt cực trị tại điểm x0
Có thể dùng y để xác định cực đại , cực tiểu của hàm số :
Nếu dấu của y mà phụ thuộc vào dấu của một tam thức bậc hai thì ĐK để hàm số có cực trị hoặc điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là tam thức bậc hai đó có hai nghiệm phân biệt vì nếu một tam thức bậc hai đã có hai nghiệm phân biệt thì hiển nhiên tam thức đó sẽ đổi dấu hai lần khi đi qua các nghiệm. Dạng 2: Tìm m để hàm số có một điểm cực trị, 3 điểm cực trị ( hàm bậc 4 ) hoặc không có cực trịSố lần đổi dấu của y khi đi qua nghiệm của nó đúng bằng số cực trị của hàm số y = f(x). Cách giải dạng bài tập: Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị: Tính y và biện luận số nghiệm của phương trình y = 0, nếu phương trình y = 0 nhận được là hàm bậc 3 ta có thể sử dụng các điều kiện để phương trình bậc ba có ba nghiệm phân biệt .
Cách giải dạng bài tập: Tìm m để hàm số có 1 điểm cực trị: Nếu pt y= 0 nhận được là pt bậc nhất hoặc bậc 2 thì đơn giản , ta chỉ xét TH pt nhận được là pt bậc 3 đầy đủ
Cách giải dạng bài tập: Tìm m để hàm số không có cực trị: ta chỉ việc biện luận cho pt y= 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm nhưng không đổi dấu qua nghiệm ( tức là trường hợp y = 0 có nghiệm bội chẵn ) Dạng 3: Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu sao cho hoành độ các điểm cực trị thoả mãn một yêu cầu nào đó của bài toánKhi đó
Dạng 4: Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu sao cho tung độ các điểm cực trị thoả mãn một yêu cầu nào đó của bài toánTính y và tìm đk để y = 0 có nghiệm sao cho tồn tại cực đại, cực tiểu của hàm số
* Kết hợp định lý Vi- ét với yêu cầu về tung độ của bài toán và đk tìm được ở bước thứ nhất để tìm ra đk của tham số . Dạng 5: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm x0và tại đó là điểm cực đại hay cực tiểuCách 1:
Cách 2:
Dạng 6: Tìm quỹ tích của điểm cực trịThông thường cách giải tương tự như việc tính nhanh ycực trị Dạng 7: Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số và đường thẳng đó thoả mãn một số yêu cầu nào đóTa biết: b) Tìm m đề đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (đồ thị hàm số) thoả mãn một số yêu cầu cho trước :
c) Chứng minh rằng với mọi m , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn đi qua một ( hoặc nhiều ) điểm cố định.
d) Chứng minh rằng các điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn nằm trên một đường thẳng cố định ( chỉ việc tìm đt đi qua các điểm cực trị , thấy các yếu tố của đt này cố định từ đó rút ra kết luận) e) Chú ý: Đối với hàm bậc 4 không những có khái niệm đường thẳng đi qua các điểm cực trị mà còn có thể có khái niệm Parabol đi qua các điểm cực trị ( khi phần dư của phép chia y( có bậc 4) cho y( có bậc 3) có bậc là 2 ).Khi đó cũng có thể có các câu hỏi tương tự như trên đối với Parabol này Dạng 8: Vị trí của các điểm cực trị đối với các trục toạ độ1. Vị trí của các điểm cực trị của hàm b2b1đối với hệ trục Oxy. Bài tập 2: Tìm m để đồ thị hàm số có một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (II) , một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (IV).
( Trong đó a(m) là hệ số chứa m của tam thức bậc 2 của tử số của y) Chú ý: Đối với những bài toán mà yêu cầu phải giải một hệ đk để có kết quả , ta thường giải một số đk đơn giản trước rồi kết hợp chúng với nhau xem sao , đôi khi kết quả thu được là sư vô lý thì không cần giải thêm các đk khác nữa. 2.Vị trí của các điểm cực trị của hàm y=a.x3+bx2+cx+d(a0) đối với hệ toạ độ Oxy.
a) cực đại, cực tiểu nằm về một phía Oy x1.x2>0 b) cực đại, cực tiểu nằm về hai phía Oy x1.x2<0 c) cực đại, cực tiểu cách đều Oy
d)cực đại, cực tiểu nằm về một phía Ox y1.y2>0
Chú ý: Có thể kết hợp các đk ở bước 1 và bước 2 để đk trở nên đơn giản , gọn nhẹ, chẳng hạn như câu: Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực đại, cực tiểu nằm về một phía Oy có thể gộp hai đk trở thành : Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt dương. Dạng 9: Vị trí của điểm cực trị đối với đường thẳng cho trước ( cách đều , nằm về một phía , nằm về hai phía, đối xứng nhau qua đường thẳng )Vị trí của các điểm cực trị của hàm số y = f(x, m) (Cm) đối với đường thẳng (d) : Ax + By +C =0 cho trước.
b) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thuộc cùng phía với (d)
c) Tìm m để cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng (d).
Cách 1: Giả sử A(x1,y1) , B(x2,y2) là toạ độ của các điểm cực trị khi đó ta giải đk về khoảng cách tìm ra đk của tham số Cách 2:
d) Tìm m để cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (d).
Dạng 10: Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều , tam giác vuông cân.( đối với hàm bậc 4 trùng phương )Phương pháp chung :
Dạng 11: Tìm m để đồ thị hàm số bậc 4 có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận điểm G cho trước làm trọng tâmPhương pháp chung: Tìm đk để hàm số có ba điểm cực trị , giả sử A(x1,y1) , B(x2,y2), C (x3,y3) là tọa độ các điểm cực trị Theo giả thiết G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
x1,x2,x3 là nghiệm của y = 0 nên theo Vi- ét ta có:
Từ phương trình (2) kết hợp với mối liên hệ đặc biệt giữa x1,x2,x3và y1,y2,y3ta tìm thêm được mối liên hệ giữa x1,x2,x3. Kết hợp các phương trình, giải hệ tìm được giá trị của tham số, đối chiếu với các điều kiện và kết luận. |