Phương pháp tọa độ trong không gian lư sĩ pháp
|
thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu: Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian oxyz Tài liệu xoay quanh chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian oxyz bao gồm 6 dạng bài toán chính với hơn 200 câu trắc nghiệm và ví dụ minh họa. Tài liệu được soạn thảo bởi Nguyễn Trọng, người thầy có nhiều năm kinh nghiệm trong giảng dạy. Các bạn học sinh lớp 12 thông qua tìm hiểu tài liệu có thể tự thực hành chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian oxyz này để tạo phản xạ tốt và đạt được điểm số cao cho kỳ thi THPT quốc gia. Sau đây, thuvientoan.net xin gửi đến bạn một số câu hỏi trắc nghiệm về chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian oxyz của chương trình toán THPT có trong tài liệu này: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 2;3 − ) , B(2; 1;1 − ),C(−1;1;0) , D(1;2; 1− ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu ? Cho điểm A(1;2;3) và hai mặt phẳng (P): 2x + 2y + z +1 = 0, (Q): 2x -y + 2z - 1 = 0. Phương trình đường thẳng d đi qua A song song với cả (P) và (Q) là Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-3;5;1). Tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là Bạn vui lòng kéo xuống khung bên dưới để xem chi tiết tài liệu. Chúc các bạn học tốt !  Tài liệu Tải file PDF: Tại đây. THEO THUVIENTOAN.NET
Nhóm thuvientoan.net xin gửi đến các bạn đọc tài liệu Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian tập 1. Tài liệu gồm 122 trang phân dạng và tuyển chọn các bài tập trắc nghiệm có đáp án chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian. Nội dung tài liệu gồm 4 phần: + Phần 01: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN + Phần 02:VEC TƠ CÙNG PHƯƠNG – TÍCH CÓ HƯỚNG + Phần 03: MẶT CẦU + Phần 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG .... Nhóm thuvientoan.net hy vọng với tài liệu Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian tập 1 sẽ giúp ích được cho các bạn đọc và được đồng hành cùng các bạn, cảm ơn! Like fanpage của thuvientoan.net để cập nhật những tài liệu mới nhất: https://bit.ly/3g8i4Dt. Tải tại đây. THEO THUVIENTOAN.NET Liên hệ
Nhằm hỗ trợ các em học sinh khối lớp 10 trong quá trình học tập chương trình Hình học 10 chương 3, Hoc247.org giới thiệu đến các em tài liệu phương pháp tọa độ trong mặt phẳng; tài liệu gồm có 91 trang, được biên soạn bởi thầy Lư Sĩ Pháp, bao gồm lý thuyết SGK, hướng dẫn giải các dạng toán và hệ thống bài tập trắc nghiệm + tự luận giúp học sinh tự ôn luyện. Khái quát nội dung tài liệu phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Lư Sĩ Pháp: BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. A. KIẾN THỨC CẦN NẮMI. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng.2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng.II. Phương trình đường thẳng.1. Phương trình tham số của đường thẳng.2. Phương trình tổng quát của đường thẳng.3. Các trường hợp đặc biệt.III. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.IV. Góc giữa hai đường thẳng.V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.VI. Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng. B. BÀI TẬP BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN. A. KIẾN THỨC CẦN NẮM1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính.2. Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.4. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn. B. BÀI TẬP + Vấn đề 1. Nhận dạng phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn.+ Vấn đề 2. Lập phương trình đường tròn.+ Vấn đề 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.[ads]BÀI 3. ELÍP. A. KIẾN THỨC CẦN NẮM1. Định nghĩa.2. Phương trình chính tắc của elip3. Hình dạng của elip4. Điều kiện tiếp xúc B. BÀI TẬP + Vấn đề 1. Xác định các thành phần của một elip khi biết phương trình chính tắc của elip đó.+ Vấn đề 2. Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác định elip đó. Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định. Nội dung gồm ba phần:+ Phần 1. Kiến thức cần nắm.+ Phần 2. Dạng bài tập có hướng dẫn giải và bài tập đề nghị. + Phần 3. Phần bài tập trắc nghiệm.
Giáo Viên Trường THPT Tuy PhongHÌNH HOÏC 12PHƯƠNG PHÁPTỌA ĐỘ TRONGKHÔNG GIANLỜI NÓI ĐẦUQuý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán,tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 12.Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn vàchương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dụcvà Đào tạo quy định.NỘI DUNG1. Lí thuyết cần nắm ở mỗi bài học2. Bài tập có hướng dẫn giải và bài tập tự luyện3. Bài tập trắc nghiệm4. Bổ sung đầy đủ các dạng toán, câu hỏi trong đề thi THPTQGCuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếmkhuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quýđồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tậphoàn chỉnh hơn.Mọi góp ý xin gọi về số 0355.334.679 – 0916 620 899Website: https://toanmath.com/Email: ân thành cảm ơn.Lư Sĩ PhápMỤC LỤCI. PHẦN TỰ LUẬN§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ------------------------------------ 01 – 08§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ------------------------------------------ 09 – 23§3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG-------------------------------------- 24 – 43ÔN TẬP CHƯƠNG III ------------------------------------------------------------ 44 – 69II. PHẦN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆMHỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ---------------------------------------- 70 – 73PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG----------------------------------------------- 74 – 83PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ------------------------------------------ 84 – 93MẶT CẦU---------------------------------------------------------------------------- 94 – 99ÔN TẬP CHƯƠNG III ------------------------------------------------------------ 100 – 129ÔN TẬP THI THPT --------------------------------------------------------------- 130 – 148ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM -------------------------------------------------------- 149 – 152Toán 12GV. Lư Sĩ PhápPHƯƠNG PHÁPTỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN---0O0---§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIANA. KIẾN THỨC CẦN NẮM1. Hệ trục tọa độ trong không gianCho ba trục Ox , Oy, Oz vuông góc với nhau từngzđôi một. Gọi i, j, k là các vectơ đơn vị tương ứngtrên các trục Ox , Oy, Oz . Hệ gồm ba trục như vậyđược gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyztrong không gian hay đơn giản được gọi là hệ tọađộ OxyzĐiểm O được gọi là gốc tọa độTrục Ox gọi là trục hoànhTrục Oy gọi là trục tungTrục Oz gọi là trục caoCác mặt phẳng ( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Oxz ) đôi mộtzM(x;y;z)kjiyOxyHxvuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọađộ.Chú ý: i = j = k = 1, i. j = i.k = j.k = 02. Tọa độ của một điểmM ( x; y; z ) ⇔ OM = x.i + y. j + z.k , ( x : hoành độ; y : tung độ; z : cao độ)Chú ý:M ∈ ( Oxy ) ⇔ z = 0; M ∈ ( Oyz ) ⇔ x = 0; M ∈ ( Ozx ) ⇔ y = 0M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 03. Tọa độ của vectơa = ( x; y; z ) ⇔ a = x.i + y. j + z.k ,( x : hoành độ; y : tung độ; z : cao độ)Chú ý: 0 = ( 0; 0; 0 ) , i = (1; 0; 0 ) , j = ( 0;1; 0 ) , k = ( 0; 0;1)Tính chất: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a = ( a1; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 ) . Ta có:a ± b = ( a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )ka = ( ka1; ka2 ; ka3 ) , k ∈ ℝa1 = b1a = b ⇔ a2 = b2a = b3 34. Liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơTrong không gian Oxyz , cho A ( x A ; y A ; zA ) , B ( x B ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , D ( x D ; yD ; zD )AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − zA )M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1) ⇔ MA = k MB x − kx B y A − kyB zA − kzB ;;Khi đó: M A1− k1− k 1− k x + xB y A + yB zA + zB ;;M trung điểm đoạn thẳng AB : M A222 Chương III. Phương pháp tọa độ trong1không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ Pháp x + xB + xC y A + yB + yC zA + zB + zC G là trọng tâm của tam giác ABC : G A;;333 x + xB + xC + xD y A + yB + yC + yD zA + zB + zC + zC ;;G là trọng tâm của tứ diện ABCD : G A444Cho ∆ABC , gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Gọi a , b , c là độ dài các cạnh.Khi đó ta có a.IA + b.IB + c.IC = 05. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng và các ứng dụngTrong không gian Oxyz , cho hai vectơ a = ( a1; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 ) . Ta có:2a.b = a1b1 + a2 b2 + a3 b3a = a12 + a22 + a32a = a12 + a22 + a32a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0a1 = kb1a aaa cùng phương với b , b ≠ 0 ⇔ a = kb ⇔ a2 = kb2 ⇔ 1 = 2 = 3 , (b1 , b2 , b3 ≠ 0)b1 b2 b3a = kb3 3Khoảng cách giữa hai điểm A và B: AB = AB =( )Góc giữa hai vectơ a và b : cos a, b =a.ba.b=(x− x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − zA )2B2a1b1 + a2 b2 + a3 b3a + a22 + a32 . b12 + b22 + b3221(2, a, b ≠ 0)6. Phương trình mặt cầua) Phương trình chính tắcTrong không gian Oxyz , mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) bán kính r có phương trình là:( x − a) + ( y − b) + ( z − c)222= r2Đặc biệt phương trình mặt cầu tâm 0 ( 0; 0; 0 ) bán kính r : x 2 + y 2 + z2 = r 2b) Phương trình tổng quátTrong không gian Oxyz , phương trình x 2 + y 2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với a2 + b2 + c 2 − d > 0 làphương trình mặt cầu tâm I ( a; b; c ) bán kính r = a2 + b2 + c 2 − dNgược lại: Phương trình dạng: x 2 + y 2 + z 2 + 2 Ax + 2 By + 2Cz + D = 0 với A2 + B2 + C 2 − D > 0 là phươngtrình mặt cầu tâm I ( − A; − B; −C ) bán kính r = A 2 + B 2 + C 2 − DChương III. Phương pháp tọa độ trong2không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ PhápB. BÀI TẬPVấn đề 1. Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện chotrướcPhương pháp: Sử dụng định nghĩa và khái niệm có liên quan đến vectơ: Tọa độ các vectơ; độ dài củavectơ; tổng hiệu của hai vectơ; tính các tọa độ trung điểm của đoạn thẳng; trọng tâm của tam giác; . . .Bài 1. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a = ( 5; 7;2 ) , b = ( 3;0;4 ) , c = ( −6;1; −1) . Hãy tìm tọa độ cácvectơ sau:a) m = 3a − 2b + cb) n = 5a + 6b + 4cHD Giải3a = (15;21;6 )a) Ta có: −2b = ( −6; 0; −8) ⇒ m = 3a − 2b + c = ( 3; 22; −3)c = ( −6;1; −1)b) Tương tự: n = 5a + 6b + 4c = (19;39;30 )Bài 2. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a = ( 2; −5;3) , b = ( 0;2; −1) , c = (1; 7;2 ) . Hãy tìm tọa độ cácvectơ sau:1a) d = 4a − b + 3c3b) e = a − 4b − 2cHD Giải 1 55 1a) d = 4a − b + 3c = 11; ; 3 3 3 b) e = a − 4b − 2c = ( 0; −27;3)Bài 3. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; 0; −2 ) , B ( 2;1; −1) , C (1; −2; 2 ) .a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABCb) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABCc) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABCHD Giảia) Ta có: AB = (1;1;1) , BC = ( −1; −3;3) , CA = ( 0;2; −4 ) . Do đó: AB = AB = 12 + 12 + 12 = 3 ;BC = BC = (−1)2 + (−3)2 + 32 = 19 CA = CA = 02 + 22 + (−4)2 = 2 5b) Gọi D, E , F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA . Ta có:x A + xB 1= xD =22y A + yB3 1 33 1 13= − . Vậy D ; ; − . Tương tư: E ; − ; , F (1; −1; 0 ) yD =222 2 22 2 2zA + zB 3 zD = 2 = 2x A + xB + xC 4= xG =33y + yB + yC4 1 11c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có: yG = A= − . Vậy G ; − ; − 33 3 3 3zA + zB + zC1=− zD =33Chương III. Phương pháp tọa độ trong3không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ PhápBài 4. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , biết A (1; 0;1) , B ( 2;1;2 ) , D (1; −1;1), C ' ( 4;5; −5 ) . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.HD GiảiTa có: AB = (1;1;1) , AD = ( 0; −1; 0 ) . AC = AB + AD = (1;0;1)D(1;-1;1)Suy ra: C ( 2; 0;2 ) và CC ' = ( 2;5; −7 )A(1;0;1)Ta lại có: AA ' = BB ' = CC ' = DD ' = ( 2;5; −7 )CB(2;12;2)Vì: AA ' = ( 2;5; −7 ) ⇒ A ' ( 3;5; −6 )BB ' = ( 2;5; −7 ) ⇒ B ' ( 4;6; −5)C'(4;5;-5)D'DD ' = ( 2;5; −7 ) ⇒ D ' ( 3; 4; −6 )A'B'Vấn đề 2. Tích vô hướng và các ứng dụng của tích vô hướngPhương pháp:( )- Sử dụng định nghĩa tích vô hướng : a.b = a . b .cos a, b và biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Cho haivectơ a = ( a1; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 ) .Ta có:2a.b = a1b1 + a2 b2 + a3 b3a = a12 + a22 + a32a = a12 + a22 + a32a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0- Sử dụng các công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai vectơ(xKhoảng cách giữa hai điểm: AB = AB =( )Góc giữa hai vectơ: cos a, b =a.ba.b=− x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − zA )2B2a1b1 + a2 b2 + a3 b3a + a22 + a32 . b12 + b22 + b3221(2, a, b ≠ 0)Bài 5. Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a và b tạo với nhau một góc 1200 .Tìm a + b và a − b , biết a = 3 , b = 5( )HD Giải 1a) Ta có: a + b = a + b + 2a.b.cos a, b = 9 + 25 + 2.3.5 − = 19 . Vậy a + b = 19 2222 1b) Ta có: a − b = a + b − 2a.b.cos a, b = 9 + 25 − 2.3.5 − = 49 . Vậy a − b = 7 2222( )Bài 6. Trong không gian Oxyz . Tính:a) a.b với a = ( 3; 0; −6 ) , b = ( 2; −4; 0 )b) c.d với c = (1; −5;2 ) , d = ( 4;3; −5)HD Giảia) a.b = 3.2 + 0.(−4) + (−6).0 = 6b) c.d = 1.4 + (−5).3 + 2(−5) = −21Bài 7. Trong không gian Oxyz . Cho ba điểm A ( −1; −2;3) , B ( 0;3;1) , C ( 4; 2;2 )a) Tính tích vô hướng AB. ACb) Tính côsin của góc BACHD Giảia) Ta có: AB = (1;5; −2 ) , AC = ( 5; 4; −1) . Do đó: AB. AC = 1.5 + 5.4 + (−2)(−1) = 27Chương III. Phương pháp tọa độ trong4không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ Phápb) cos BAC =AB. ACAB . AC27=30. 42=92 35⇒ BAC ≃ 40 0 28' 46 ''Bài 8. Trong không gian Oxyz . Cho ba điểm A (1;2;1) , B ( 5;3; 4 ) , C ( 8; −3; 2 )a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuôngb) Tính diện tích tam giác ABCc) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABCHD Giảia) Ta có: AB = ( 4;1;3 ) ⇒ AB = 26, AC = ( 7; −5;1) ⇒ AC = 5 3, BC = ( 3; −6; −2 ) ⇒ BC = 7Nhận xét: AB.BC = 4.3 + 1.(−6) + 3.(−2) = 0 ⇒ AB ⊥ BC . Hay tam giác ABC vuông tại B117 26AB.BC = . 26.7 =222c) Gọi p là nửa chu vi và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Ta có:b) Gọi S là diện tích tam giác ABC , ta có: S =()S7 26=p26 + 5 3 + 7Vấn đề 3. Lập phương trình mặt cầu – Xác định tâm và bán kính mặt cầu có phương trình cho trướcĐể viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm và bán kính mặt cầu.Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) bán kính r có phương trình là:p=11AB + AC + BC ) =(22( x − a) + ( y − b) + ( z − c)22226 + 5 3 + 7 . Từ S = pr ⇒ r == r2Đặc biệt phương trình mặt cầu tâm 0 ( 0; 0; 0 ) bán kính r : x 2 + y 2 + z2 = r 2Trong không gian Oxyz , phương trình x 2 + y 2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với a2 + b2 + c 2 − d > 0 làphương trình mặt cầu tâm I ( a; b; c ) bán kính r = a2 + b2 + c 2 − dBài 9. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình:a) x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y + 6 z + 5 = 0b) x 2 + y 2 + z 2 − 8 x − 2 y + 1 = 0c) 3 x 2 + 3y 2 + 3z2 − 6 x + 8y + 15z − 3 = 0d) 3 x 2 + 3y 2 + 3z2 − 6 x − 3y + 15z − 2 = 0HD Giảia) Ta có: x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y + 6 z + 5 = 0 ⇔ ( x + 2 ) + ( y − 1) + ( z + 3 ) = 9222Vậy mặt cầu đã cho có tâm I ( −2;1; −3 ) và bán kính r = 3 .b) x 2 + y 2 + z2 − 8 x − 2 y + 1 = 0 . Phương trình mặt cầu có dạng: x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0Ta có: a =−8−20= 4; b == 1, c == 0, d = 1−2−2−2Vậy mặt cầu đã cho có tâm I ( 4;1; 0 ) và bán kính r = 42 + 11 + 02 − 1 = 4 .8c) 3 x 2 + 3y 2 + 3z2 − 6 x + 8y + 15z − 3 = 0 ⇔ x 2 + y 2 + z2 − 2 x + y + 5z − 1 = 03224 5 361 192⇔ ( x − 1) + y + + z + == 23 2366194 5Vậy mặt cầu đã cho có tâm I 1; − ; − và bán kính r = .63 22 1 57 6d) Mặt cầu đã cho có tâm I 1; ; − và bán kính r =.6 2 2Chương III. Phương pháp tọa độ trong5không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ PhápBài 10. Trong không gian Oxyz . Hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:a) Có tâm I ( 5; −3; 7 ) và có bán kính r = 2b) Đi qua điểm M ( 5; −2;1) và có tâmc) Có tâm là điểm C ( 4; −4; 2 ) và đi qua gốc tọa độd) Có đường kính AB vớiJ ( 3; −3;1)A ( 4; −3; 7 ) , B ( 2;1;3 )HD GiảiPhương trình mặt cầu (S) có dạng: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r 2 , có tâm I ( a; b; c ) và có bán kính r.222a) Mặt cầu (S) tâm I ( 5; −3; 7 ) và bán kính r = 2 có phương trình: ( x − 5 ) + ( y + 3) + ( z − 7 ) = 4222b) Mặt cầu (S) tâm J ( 3; −3;1) và đi qua điềm M ( 5; −2;1) nên có bán kính r = JM = 5Vậy mặt cầu (S) có phương trình: ( x − 3 ) + ( y + 3) + ( z − 1) = 5222c) Mặt cầu (S) tâm C ( 4; −4; 2 ) và đi qua điềm O ( 0; 0; 0 ) nên có bán kính r = OC = 6Vậy mặt cầu (S) có phương trình: ( x − 4 ) + ( y + 4 ) + ( z − 2 ) = 36222d) Mặt cầu (S) có tâm là trung điểm K của đoạn ABTa có: K ( 3; −1;5 ) và bán kính r =AB2=(−2)2 + 42 + (−4)2 36== 3 (hay r = IA = IB )22Vậy mặt cầu (S) có phương trình: ( x − 3) + ( y + 1) + ( z − 5) = 9222Bài 10. Trong không gian Oxyz . Hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:a) Đi qua bốn điểm A (1; 0; 0 ) , B ( 0; −2; 0 ) , C ( 0; 0; 4 ) và gốc tọa độ Ob) Đi qua bốn điểm A (1;1;1) , B (1;2;1) , C (1;1;2 ) , D ( 2; 2;1)c) Đi qua ba điểm A (1;2; −4 ) , B (1; −3;1) , C ( 2;2;3 ) và có tâm nằm trên mặt phẳng ( Oxy )d) Đi qua hai điểm A ( 3; −1;2 ) , B (1;1; −2 ) và có tâm nằm trên trục OzHD Giảia) Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x + y 2 + z2 − 2 ax − 2 by − 2cz + d = 0(1)VìA ∈ (S ) nên ta có: 1 − 2a + d = 0(2)B ∈ (S ) nên ta có: 4 + 4b + d = 0(3)C ∈ (S ) nên ta có: 16 − 8c + d = 0(4)O ∈ (S ) nên ta có: d = 021Giải hệ 4 phương trình trên, ta có: a = , b = −1, c = 2, d = 022Vậy mặt cầu (S) có phương trình: x + y 2 + z 2 − x + 2 y − 4 z = 0b) Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x 2 + y 2 + z 2 − 2 ax − 2 by − 2cz + d = 0Vì(1)A ∈ (S ) nên ta có: 3 − 2a − 2b − 2c + d = 0(2)B ∈ (S ) nên ta có: 6 − 2a − 4b − 2c + d = 0(3)C ∈ (S ) nên ta có: 6 − 2a − 2b − 4c + d = 0(4)D ∈ (S ) nên ta có: 9 − 4a − 4b − 2c + d = 03Giải hệ 4 phương trình trên, ta có: a = b = c = , d = 62222Vậy mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z − 3 x − 3 y − 3z + 6 = 0c) Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x 2 + y 2 + z2 − 2 ax − 2 by − 2cz + d = 0Chương III. Phương pháp tọa độ trong6không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12VìA ∈ (S ) nên ta có: 21 − 2a − 4b + 8c + d = 0B ∈ (S ) nên ta có: 11 − 2a + 6b − 2c + d = 0C ∈ (S ) nên ta có: 17 − 4a − 4b − 6c + d = 0GV. Lư Sĩ Pháp(1)(2)(3)Tâm I ∈ ( Oxy ) nên ta có: c = 0(4)Giải hệ 4 phương trình trên, ta có: a = −2, b = 1, c = 0, d = −21Vậy mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y − 21 = 0d) Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x 2 + y 2 + z 2 − 2 ax − 2 by − 2cz + d = 0Vì(1)A ∈ (S ) nên ta có: 14 − 6a + 2b − 4c + d = 0(2)B ∈ (S ) nên ta có: 6 − 2a − 2b + 4c + d = 0a = 0Tâm I ∈ Oz nên ta có: (3)b = 0Giải hệ 3 phương trình trên, ta có: a = 0, b = 0, c = 1, d = −10Vậy mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z2 − 2 z − 10 = 0Bài 11. Trong không gian Oxyz . Hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:a) Đi qua ba điểm A ( 0;8; 0 ) , B ( 4;6; 2 ) , C ( 0;12; 4 ) và có tâm nằm trên mặt phẳng ( Oyz )b) Có bán kính r = 2 , tiếp xúc với mặt phẳng ( Oyz ) và có tâm nằm trên trục Oxc) Có tâm I (1; 2;3 ) và tiếp xúc với mp ( Oyz )HD Giảia) Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x + y 2 + z 2 − 2 ax − 2 by − 2cz + d = 0 .2Tâm I ∈ ( Oyz ) ⇒ I ( 0; b; c )VìA ∈ (S ) nên ta có: 64 − 16b + d = 0B ∈ (S ) nên ta có: 56 − 8a − 12b − 4c + d = 0C ∈ (S ) nên ta có: 160 − 24b − 8c + d = 0(1)(2)(3)Tâm I ∈ ( Oyz ) nên ta có: a = 0(4)Giải hệ 4 phương trình trên, ta có: a = 0, b = 7, c = 5, d = 48Vậy mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 14 y − 10 z + 48 = 0b) Tâm I ∈ Ox ⇒ I ( a; 0; 0 ) .Vì tâm I nằm trên trục Ox và mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( Oyz ) nên điểmtiếp xúc phải là O.Do đó bán kính mặt cầu là r = IO = 2 và I ( 2; 0; 0 )Vậy mặt cầu có phương trình: ( x − 2 ) + y 2 + z 2 = 42c) Vì mặt cầu có tâm I (1; 2;3 ) và tiếp xúc với mp ( Oyz ) nên bán kính r của mặt cầu bằng khoảng cách từ Iđến mp ( Oyz ) . Do đó: r = 1 . Vậy mặt cầu có phương trình: ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3 ) = 1222C. BÀI TẬP TỰ LUYỆNBài 1. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a = ( 2; −1;2 ) , b = ( 3;0;1) , c = ( −4;1; −1) . Hãy tìm tọa độ cácvectơ sau:a) m = 3a − 2b + cb) n = 2a + b + 4cBài 2. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; −1;1) , B ( 0;1; 2 ) , C (1; 0;1) . Tìm tọa độ trọng tâm G củatam giác ABC .Bài 3. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 2;1; −1) , B ( 4;1; −3 ) , C ( 3; 7; 0 ) .a) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh BCb) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABCChương III. Phương pháp tọa độ trong7không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12c) Tìm tọa độ điềm A ' đối xứng của A qua MBài 4. Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a và b tạo với nhau một góc 60 0 .GV. Lư Sĩ PhápTìm a + b và a − b , biết a = 5 , b = 8Bài 5. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( −4; −2; 0 ) , B ( −1; −2; 4 ) , C ( 3; −2;1) . Tìm góc giữa hai vectơAB và ACBài 6. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình:a) x 2 + y 2 + z 2 + 6 x − 2 z + 1 = 0b) x 2 + y 2 + z 2 − 8 x + 4 y + 6 z + 4 = 0c) 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 4 x + 8 y − 12 z + 27 = 0c) 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + 8 x − 4 y − 12 z − 100 = 0Bài 7. Trong không gian Oxyz . Hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:a) Đi qua điểm A ( 2; −1; −3 ) và có tâm C ( 3; −2;1)b) Có đường kính AB với A ( −1;2;1) , B ( 0; 2;3 )c) Có tâm là điểm I ( 2; −1;3 ) và tiếp xúc với mp ( Oxy )d) Có tâm là điểm I ( 2; −1;3 ) và tiếp xúc với mp ( Oxz )e) Có tâm là điểm I ( 2; −1;3 ) và tiếp xúc với mp ( Oyz )Kết quả:Bài 1. a) m = 3a − 2b + c = ( −4; −2;3) , b) n = 2a + b + 4c = ( −9;2;1)2 4Bài 2. G ; 0; 3 3734Bài 3. a) M ; 4; − , b) G 3;3; − , c) A ' ( 5; 7; −2 )232Bài 4. a + b = 129 , a − b = 7Bài 5. AB, AC = 450Bài 6. a) I ( −3; 0;1) , r = 3 , b) I ( 4; −2; −3 ) , r = 5 , c) I (1; −2;3 ) , r =Bài 7. a) ( x − 3 ) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 18222c) ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 3) = 92222, d) I ( −2;1;3 ) , r = 8222215b) x + + ( y − 2 ) + ( z − 2 ) =24d) ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 3) = 1222e) ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 3) = 4222Chương III. Phương pháp tọa độ trong8không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ Pháp§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNGA. KIẾN THỨC CẦN NẮM1. Tích có hướng của hai vectơa. Định nghĩa: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a = ( a1; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 ) . Tích có hướng củahai vectơ a và b , kí hiệu là a, b hoặc a ∧ b , được xác định bởi: a a3 a3 a1 a1 a2 a∧b = 2;;= a b − a b ;a b − a b ;a b − a b b b b b b b ( 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 )33112 2(Chú ý: a ∧ b = − b ∧ a)b. Tính chấtc ⊥ aNếu c = a ∧ b thì c ⊥ ba ∧ b = a . b sin a, ba và b cùng phương ⇔ a ∧ b = 0a , b , c đồng phẳng ⇔ c. a ∧ b = 0( )()c. Ứng dụng của tích có hướngDiện tích hình bình hành ABCD là SABCD = AB ∧ ADDiện tích tam giác ABC là SABC =1AB ∧ AC2()Thể tích khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' là VABCD . A ' B ' C ' D ' = AB ∧ AD . AA 'Thể tích khối tứ diện ABCD là VABCD =()1AB ∧ AC . AD62. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳnga. Định nghĩa:Vectơ n ≠ 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của nó vuông góc với (α ) , viết tắtlà: n ⊥ (α)Nếu hai vectơ a = ( a1; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 ) không cùng phương và giá của chúng song song với một mp(α) (hoặc nằm trên (α ) ) thì n = a ∧ b là một vectơ pháp tuyến của mp (α ) .b. Chú ý:Nếu n là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì kn, k ≠ 0 cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đóMặt phẳng ( ABC ) có vectơ pháp tuyến n = AB ∧ AC3. Phương trình tổng quát của mặt phẳnga. Định nghĩa: Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 , trong đó A, B, C , D không đồng thời bằng 0được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng hay còn gọi là phương trình mặt phẳng.b. Nhận xét:Nấu mặt phẳng (α ) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vectơ pháp tuyếnn = ( A; B; C )Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ n = ( A; B; C ) khác 0 làm vectơ pháptuyến có phương trình: A ( x − x 0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0c. Các trường hợp riêng của phương trình tổng quátCác hệ sốPhương trình mặt phẳng (α)D=0Ax + By + Cz = 0Chương III. Phương pháp tọa độ trong9Đặc điểm của mặt phẳng (α)(α) đi qua gốc tọa độ Okhông gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ PhápBy + Cz + D = 0Ax + Cz + D = 0Ax + By + D = 0Cz + D = 0By + D = 0Ax + D = 0A=0B=0C=0A=B=0A=C=0B=C=0(α) // Ox hoặc (α) ⊃ Ox(α) // Oy hoặc (α) ⊃ Oy(α) // Oz hoặc (α) ⊃ Oz(α) // (Oxy) hoặc (α) ≡ (Oxy)(α) // (Oxz) hoặc (α) ≡ (Oxz)(α) // (Oyz) hoặc (α) ≡ (Oyz)Chú ý:Mặt phẳng ( Oxy ) có phương trình: z = 0 và có vectơ pháp tuyến k = ( 0; 0;1)Mặt phẳng ( Oxz ) có phương trình: y = 0 và có vectơ pháp tuyến j = ( 0;1; 0 )Mặt phẳng ( Oyz ) có phương trình: x = 0 và có vectơ pháp tuyến i = (1;0;0 )4. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắnMặt phẳng (α ) không đi qua gốc O, cắt trục Ox , Oy, Oz lần lượt tại các điểmx y z+ + =1a b cPhương trình này gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng (α )5. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳngTrong không gian Oxyz , hai mặt phẳng ( α1 ) và ( α 2 ) có phương trình:A ( a; 0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0; 0; c ) (với a, b, c ≠ 0 ) thì có phương trình:(α ) : A x + B y + C z + D = 0 ; (α ) : A x + B y + C z + Dtuyến là: n = ( A ; B ; C ) , n = ( A ; B ; C )1111111112222A1(α ) ≡ (α ) ⇔ A122=2222= 0 . Khi đó ( α1 ) và ( α 2 ) có hai vectơ pháp2B1 C1 D1==B2 C2 D2ABCD( α1 ) / / ( α2 ) ⇔ A1 = B1 = C1 ≠ D12222( α ) cắt ( α ) ⇔ A : B : C ≠ A : B : C(α ) ⊥ (α ) ⇔ n ⊥ n ⇔ A A + B B + C C112211121212212212=06. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngTrong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và điểmM 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) . Khoảng cách từ điểm M 0 đến mặt phẳng (α ) , kí hiệu d ( M 0 ,(α ) ) , được tính bởi côngthức:d ( M 0 ,(α ) ) =Ax0 + By0 + Cz0 + DA2 + B2 + C 2B. BÀI TẬPVấn đề 1. Tích có hướng của hai vectơ và các ứng dụngPhương pháp:- Sử dụng định nghĩa của tích có hướng của hai vectơ và các tính chất của tích có hướng- Sử dụng các công thức tính diện tích, thể thể. a a3 a3 a1 a1 a2 a∧b = 2;;= a b − a b ;a b − a b ;a b − a b b b b b b b ( 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 )33112 2Bài 1. Trong không gian Oxyz . Cho ba điểm A (1;2;3 ) , B ( 0;1;1) , C (1; 0; 0 ) . Tính AC ∧ BCChương III. Phương pháp tọa độ trong10không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ PhápHD Giải −2 −3 −3 0 0 −2 Ta có: AC = ( 0; −2; −3 ) , BC = (1; −1; −1) . AC ∧ BC = = −1; −3;2 );; −1 −1 −1 1 1 −1 (Bài 2. Trong không gian Oxyz . Cho ba điểm A (1; −1;2 ) , B ( −1; 0;3) , C ( 0;2;1) .a) Chứng minh A, B, C tạo thành một tam giácb) Tính diện tích tam giác ABC. Suy ra chiều cao AH của tam giác ABC.HD Giải 1 1 1 −2 −2 1 a) Ta có: AB = ( −2;1;1) , AC = ( −1;3; −1) . AB ∧ AC = ;;= −4;3; −5) ≠ 0 3 −1 −1 −1 −1 3 (Vậy AB và AC không cùng phương ⇒ A, B, C không thẳng hàng ⇒ A, B, C tạo thành một tam giác.b) Ta có: Diện tích tam giác ABC là SABC =Mặt khác: SABC =115 2AB ∧ AC =16 + 9 + 25 =2222S15 25 2AH .BC ⇒ AH = ABC ==2BC31+ 4 + 4Bài 3. Trong không gian Oxyz . Cho bốn điểm A (1; 0;1) , B ( −1;1; 2 ) , C ( −1;1; 0 ) , D ( 2; −1; −2 ) .a) Chứng minh 4 điểm A, B, C , D tạo thành một tứ diệnb) Tính diện tích của tam giác BCDc) Tính thể tích tứ diện ABCD . Suy ra chiều cao AH của tứ diện ABCDHD Giảia) Ta có:BA = ( 2; −1; −1) , BC = ( 0; 0; −2 ) , BD = ( 3; −2; −4 ) . 0 −2 −2 0 0 0 BC ∧ BD = ;;= −4; −6; 0 ) −2 −4 −4 3 3 −2 (( BC ∧ BD ) .BA = (−4).2 + (−6).(−1) + 0.(−1) = −2 ≠ 0Vậy BC , BD , BA không đồng phẳng ⇒ A, B, C, D tạo thành một tứ diện.b) S∆BCD =1152BC ∧ BD =16 + 36 == 13222c) VABCD =3V111113BC ∧ BD .BA =4 = . Mặt khác: VABCD = AH .S∆BCD ⇒ AH = ABCD =6633S∆BCD13()Bài 4. Trong không gian Oxyz . Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' biết điểm A ( 0; 0;1) , B ( 0;2;1) , D ( 3; 0;1), A ' ( 0; 0; 0 ) . Tính thể tích của khối hộp đã cho.HD GiảiTa có: AB = ( 0;2;0 ) , AD = ( 3; 0; 0 ) , AA ' = ( 0; 0; −1)()2 0 0 0 0 2AB ∧ AD = ;;= 0; 0; −6 ) , AB ∧ AD . AA ' = 0.0 + 0.0 + (−6).(−1) = 6 0 0 0 3 3 0 (()Thể tích khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' là VABCD . A ' B ' C ' D ' = AB ∧ AD . AA ' = 6Bài 5. Trong không gian Oxyz . Cho bốn điểm A ( 0;1;1) , B ( −1; 0; 2 ) ,C ( −1;1; 0 ) , D ( 2;1; −2 ) .a) Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng.b) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đó.c) Tính góc CBD và góc giữa hai đường thẳng AB và CD.d) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh D.Chương III. Phương pháp tọa độ trong11không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ PhápHD Giảia) Ta có: BA = (1;1; −1) , BC = ( 0;1; −2 ) , BD = ( 3;1; −4 )() 1 −1 −1 1 1 1 = −1;2;1) , BA ∧ BC .BD = (−1).3 + 2.1 + 1.(−4) = −5 ≠ 0BA ∧ BC = ;; 1 −2 −2 0 0 1 (Suy ra: BA, BC , BD không đồng phẳng hay bốn điểm đã cho không đồng phẳng.b) Ta có: S∆ABC =()116BA ∧ BC =(−1)2 + 22 + 12 =222Gọi AH là đường cao kẻ từ A của tam giác ABC, ta có: AH =2S∆ABC=BC602 + 12 + ( −2 )2=305Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC và p là nữa chu vi của tam giác ABCS6AB + AC + BC3+ 5+ 2=Ta có: S∆ABC = p.r ⇒ r = ∆ABC =, với p =p225+ 3+ 2BC .BD9c) Ta có: cos CBD = cos BC , BD ==⇒ CBD ≈ 370 52 ' BC . BD130Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và CD.AB.CD5Ta có: cos α = cos AB, CD ==⇒ α ≈ 360 49 ' AB . cD39()15BA ∧ BC .BD =663V5 6Nếu DK là đường cao của tứ diện kẻ từ D thì ta có: DK = ABCD =S∆ABC6d) Thể tích tứ diện ABCD là: VABCD =Vấn đề 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳngPhương pháp: có 4 loại cơ bảnLoại 1. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) khi biết vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) và một điểmM 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) thuộc ( α ) .Phương trình ( α ) có dạng: A ( x − x 0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0Khai triển, rút gọn đưa về dạng tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 với D = − ( Ax 0 + By0 + Cz0 )Lưu ý: Nếu hai vectơ a = ( a1; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 ) không cùng phương và giá của chúng song song vớimột mp (α ) (hoặc nằm trên (α ) ) thì n = a ∧ b là một vectơ pháp tuyến của mp (α ) .Loại 2. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa ba điểm A, B, C không thẳng hàng (hay đi qua ba điểmA, B, C )Tìm vectơ pháp tuyến nα = AB ∧ ACMặt phẳng ( α ) qua điểm A( hay B hay C) và có vectơ pháp tuyến là nα (loại 1)Lưu ý: Mặt phẳng (α ) không đi qua gốc O, cắt trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểmx y z+ + =1a b cLoại 3. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với mặt phẳngA ( a; 0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0; 0; c ) (với a, b, c ≠ 0 ) thì có phương trình:(β) : Ax + By + Cz + D = 0 .Chương III. Phương pháp tọa độ trong12không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ PhápPhương trình ( α ) có dạng: Ax + By + Cz + D ' = 0 (1)Thay tọa độ điểm M 0 vào (1) tìm được D 'Loại 4. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa hai điểm M , N và vuông góc với mặt phẳng(β) : Ax + By + Cz + D = 0Tìm vectơ pháp tuyến nα = MN ∧ nβMặt phẳng ( α ) qua điểm M( hay N) và có vectơ pháp tuyến là nα (loại 1)Bài 6. Trong không gian Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng ( α ) trong các trường hợp sau:a) Đi qua điểm A ( 2;5; −7 ) và song song với giá của hai vectơ a = (1; −2;3) , b = ( 3; 0;5)b) Đi qua ba điểm B ( 2; −1;3 ) , C ( 4; 0;1) , D ( −10; 5;3 )c) Đi qua điểm E ( 0;2; 0 ) và song song với mặt phẳng ( β ) : 2 x + 3y − 4 z − 2 = 0d) Đi qua OE và vuông góc với mặt phẳng ( β ) : 2 x + 3y − 4 z − 2 = 0e) Đi qua ba điểm M (1; 0; 0 ) , N ( 0; −2; 0 ) , P ( 0; 0; −3 )HD Giải qua A ( 2;5; −7 )a) Ta có: a ∧ b = ( −10;4;6 ) . Mặt phẳng ( α ) : coù vectô phaùp tuyeán n = ( −10; 4; 6 )có phương trình: −10 ( x − 2 ) + 4 ( y − 5 ) + 6 ( z + 7 ) = 0 ⇔ 5 x − 2 y − 3z − 21 = 0b) Ta có: BC = ( 2;1; −2 ) , BD = ( −12;6; 0 ) . BA ∧ BC = (12;24;24 ) qua B ( 2; −1;3 )Mặt phẳng ( α ) : coù vectô phaùp tuyeán n = (12;24;24 )có phương trình: 12 ( x − 2 ) + 24 ( y + 1) + 24 ( z − 3 ) = 0 ⇔ x + 2 y + 2 z − 6 = 0c) Vì mặt phẳng ( α ) song song với ( β ) : 2 x + 3y − 4 z − 2 = 0 nên phương trình của mặt phẳng ( α ) :2 x + 3 y − 4 z + D = 0,( D ≠ −2) . Điểm E ∈ ( α ) , ta có: 2.0 + 3.2 − 4.0 + D = 0 ⇔ D = −6Vậy phương trình của mặt phẳng ( α ) : 2 x + 3 y − 4 z − 6 = 0d) Ta có: OE = ( 0;2; 0 ) , nβ = ( 2;3; −4 ) . OE ∧ nβ = ( −8; 0; −4 ) . qua O ( 0; 0; 0 )Mặt phẳng ( α ) : coù vectô phaùp tuyeán n = ( −8; 0; −4 )có phương trình: −8 ( x − 0 ) + 0. ( y − 0 ) − 4 ( z − 0 ) = 0 ⇔ 2 x + z = 0e) Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắnx yzTa được phương trình ( α ) có dạng: ++= 1 ⇔ 6 x − 3y − 2 z − 6 = 01 −2 −3Bài 7. Trong không gian Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng ( α ) trong các trường hợp sau:a) Đi qua điểm A (1; −2; 4 ) và nhận n = ( 2;3;5) làm vectơ pháp tuyếnb) Đi qua điểm B ( 0; −1;2 ) và song song với giá của hai vectơ u = ( 3;2;1) , v = ( −3; 0;1)c) Đi qua điểm C ( 2; −1;2 ) và song song với mặt phẳng ( β ) : 2 x − y + 3z + 4 = 0Chương III. Phương pháp tọa độ trong13không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ Phápd) Đi qua hai điểm D (1; 0;1) , E ( 5;2;3) và vuông góc với mặt phẳng ( γ ) : 2 x − y + z − 7 = 0e) Đi qua ba điểm M ( −3; 0; 0 ) , N ( 0; −2; 0 ) , P ( 0; 0; −1)HD Giải qua A (1; −2; 4 )a) Mặt phẳng ( α ) : coù vectô phaùp tuyeán n = ( 2;3;5 )có phương trình: 2 ( x − 1) + 3 ( y + 2 ) + 5 ( z − 4 ) = 0 ⇔ 2 x + 3y + 5z − 16 = 0 qua B ( 0; −1;2 )b) Ta có: u ∧ v = ( 2; −6;6 ) . Mặt phẳng ( α ) : coù vectô phaùp tuyeán n = ( 2; −6; 6 )có phương trình: 2 ( x − 0 ) − 6 ( y + 1) + 6 ( z − 2 ) = 0 ⇔ x − 3 y + 3z − 9 = 0c) Vì mặt phẳng ( α ) song song với ( β ) : 2 x − y + 3z + 4 = 0 nên phương trình của mặt phẳng ( α ) :2 x − y + 3z + D = 0,( D ≠ 4) . Điểm C ∈ ( α ) , ta có: 2.2 − 1.(−1) + 3.2 + D = 0 ⇔ D = −11Vậy phương trình của mặt phẳng ( α ) : 2 x − y + 3z − 11 = 0d) Ta có: DE = ( 4;2;2 ) , nβ = ( 2; −1;1) . DE ∧ nβ = (1; 0; −2 ) . qua D (1; 0;1)Mặt phẳng ( α ) : coù vectô phaùp tuyeán n = (1; 0; −2 )có phương trình: 1 ( x − 1) + 0 ( y − 0 ) − 2 ( z − 1) = 0 ⇔ x − 2 z + 1 = 0xyz++= 1 ⇔ 2 x + 3y + 6 z + 6 = 0−3 −2 −1Bài 8. Trong không gian Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB , biết:e) Phương trình mặt phẳng ( α ) theo đoạn chắn :a) A ( 2;3; 7 ) , B ( 4;1;3)b) A (1; −2; 4 ) , B ( 3;6; 2 )HD GiảiLưu ý: Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB qua trung điểm I của AB và có vectơ pháp tuyến n = ABa) Gọi ( α ) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB . Đoạn thẳng AB có trung điểm I ( 3;2;5 ) , qua I ( 3;2; 5)AB = ( 2; −2; −4 ) Như vậy, mặt phẳng ( α ) : coù vectô phaùp tuyeán n = AB = ( 2; −2; −4 )có phương trình: 2 ( x − 3 ) − 2 ( y − 2 ) − 4 ( z − 5 ) = 0 ⇔ x − y − 2 z + 9 = 0b) Gọi ( α ) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB . Đoạn thẳng AB có trung điểm J ( 2;2;3 ) , AB = (1; 4; −1) qua J ( 2;2;3 )Như vậy, mặt phẳng ( α ) : coù vectô phaùp tuyeán n = AB = (1; 4; −1)có phương trình: 2 ( x − 2 ) + 4 ( y − 2 ) − 1 ( z − 3 ) = 0 ⇔ x + 4 y − z − 7 = 0Bài 9. Trong không gian Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng ( α ) trong các trường hợp sau:a) Chứa trục Ox và điểm A ( 4; −1;2 )c) Chứa trục Oz và điểm C ( 3; −4; 7 )b) Chứa trục Oy và điểm B (1; 4; −3 )d) Đi qua D ( 2; 6; −3 ) và song song mp ( Ozx )HD GiảiChương III. Phương pháp tọa độ trong14không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ Phápa) Mặt phẳng ( α ) chứa điểm A ( 4; −1;2 ) và trục Ox , suy ra ( α ) song song hoặc chứa hai vectơi = (1; 0; 0 ) , OA = ( 4; −1; 2 ) . Ta có: i ∧ OA = ( 0; −2; −1) qua A ( 4; −1;2 )Vậy,mặt phẳng ( α ) : coù vectô phaùp tuyeán n = ( 0; −2; −1)có phương trình: 0 ( x − 4 ) − 2 ( y + 1) − 1 ( z − 2 ) = 0 ⇔ 2 y + z = 0b) Mặt phẳng ( α ) chứa điểm B (1; 4; −3 ) và trục Oy , suy ra ( α ) song song hoặc chứa hai vectơj = ( 0;1; 0 ) , OB = (1; 4; −3 ) . Ta có: j ∧ OB = ( −3; 0; −1) qua B (1; 4; −3)Vậy,mặt phẳng ( α ) : coù vectô phaùp tuyeán n = ( −3; 0; −1)có phương trình: −3 ( x − 1) + 0 ( y − 4 ) − 1( z + 3) = 0 ⇔ 3 x + z = 0c) Mặt phẳng ( α ) chứa điểm C ( 3; −4; 7 ) và trục Oz , suy ra ( α ) song song hoặc chứa hai vectơk = ( 0;0;1) , OC = ( 3; −4; 7 ) . Ta có: k ∧ OC = ( 4;3; 0 ) qua C ( 3; −4; 7 )Vậy,mặt phẳng ( α ) : coù vectô phaùp tuyeán n = ( 4;3; 0 )có phương trình: 4 ( x − 3) + 3 ( y + 4 ) + 0 ( z − 7 ) = 0 ⇔ 4 x + 3y = 0d) Phương trình mp ( Ozx ) là: y = 0Vì mặt phẳng ( α ) song song với ( Ozx ) : y = 0 nên phương trình của mặt phẳng ( α ) : y + D = 0,( D ≠ 0) .Điểm D ∈ ( α ) , ta có: 1.6 + D = 0 ⇔ D = −6 . Vậy phương trình của mặt phẳng ( α ) : y − 6 = 0Bài 10. Trong không gian Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng ( α ) trong các trường hợp sau:a) Đi qua A ( 3; −1; −5 ) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng ( β ) : 3 x − 2 y + 2 z + 7 = 0 và( γ ) : 5 x − 4 y + 3z + 1 = 0b) Đi qua các hình chiếu của điểm B ( 2;3; 4 ) trên các trục tọa độ.c) Đi qua điểm M ( 2; −1;2 ) , song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng ( χ ) : 2 x − y + 3z + 4 = 0HD Giảia) Mặt phẳng ( β ) có nβ = ( 3; −2;2 ) và mp ( γ ) có nγ = ( 5; −4;3)Mặt phẳng ( α ) vuông góc với hai mặt phẳng ( β ) , ( γ ) , do đó hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên ( α )là nβ và nγ . Suy ra mp ( α ) có VTPT: nα = nβ ∧ nγ = ( 2;1; −2 ) qua A ( 3; −1; −5 )Vậy, mặt phẳng ( α ) : coù vectô phaùp tuyeán n = ( 2;1; −2 )có phương trình: 2 ( x − 3 ) + 1 ( y + 1) − 2 ( z + 5 ) = 0 ⇔ 2 x + y − 2 z − 15 = 0b) Hình chiếu của điểm B ( 2;3; 4 ) trên các trục Ox , Oy, Oz lần lượt là C ( 2; 0; 0 ) , D ( 0;3; 0 ) , E ( 0; 0; 4 )x y z+ + = 1 ⇔ 6 x + 4 y + 3z − 12 = 02 3 4c) Mặt phẳng ( α ) song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng ( χ ) : 2 x − y + 3z + 4 = 0Phương trình mặt phẳng ( α ) theo đoạn chắn :Chương III. Phương pháp tọa độ trong15không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ PhápDo đó hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên ( α ) là j ( 0;1; 0 ) và nχ = ( 2; −1;3) .Suy ra mp ( α ) có VTPT: nα = j ∧ nχ = ( 3; 0; −2 ) qua M ( 2; −1; 2 )Vậy, mặt phẳng ( α ) : coù vectô phaùp tuyeán n = ( 3; 0; −2 )có phương trình: 3 ( x − 2 ) + 0 ( y + 1) − 2 ( z − 2 ) = 0 ⇔ 3 x − 2 z − 2 = 0Bài 11. Trong không gian Oxyz . Cho tứ diện có các đỉnh A ( 5;1;3 ) , B (1; 6;2 ) , C ( 5; 0; 4 ) , D ( 4; 0;6 )a) Hãy viết phương trình các mặt phẳng ( ACD ) và ( BCD )b) Hãy viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.HD Giảia) Ta có: AC = ( 0; −1;1) , AD = ( −1; −1;3 ) . AC ∧ AD = ( −2; −1; −1) qua A ( 5;1;3 )Vậy, mặt phẳng ( ACD ) : coù vectô phaùp tuyeán n = ( −2; −1; −1)có phương trình: −2 ( x − 5 ) − 1( y − 1) − 1( z − 3 ) = 0 ⇔ 2 x + y + z − 14 = 0Tương tư, phương trình mặt phẳng ( BCD ) : 6 x + 5 y + 3z − 42 = 0b) Ta có: AB = ( −4;5; −1) , CD = ( −1; 0;2 ) . Mặt phẳng ( α ) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD nênn = AB ∧ CD = (10;9;5 ) qua A ( 5;1;3)Vậy, mặt phẳng ( α ) : coù vectô phaùp tuyeán n = (10;9;5 )có phương trình: 10 ( x − 5 ) + 9 ( y − 1) + 5 ( z − 3 ) = 0 ⇔ 10 x + 9 y + 5z − 74 = 0Bài 12. Trong không gian Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng ( α ) trong các trường hợp sau:a) Đi qua điểm G (1;2;3 ) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giácABCb) Đi qua điểm H ( 2;1;1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giácABCc) Đi qua điểm M (1;2;3 ) và cắt ba tia tại Ox , Oy, Oz các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏnhấtHD Giảia) Giả sử A ( a; 0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0; 0; c ) . Vì G (1;2;3 ) là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:a + 0 + 0=13a = 3x y z0 + b + 0= 2 ⇔ b = 6 . Phương trình mặt phẳng ( α ) theo đoạn chắn : + + = 13 6 93c = 90 + 0 + c=3 3b) Nếu mặt phẳng ( α ) đi qua H ( 2;1;1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C thì tứ diện OABC cócác cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.H là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi OH ⊥ ( ABC )Chương III. Phương pháp tọa độ trong16không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ PhápVậy mp ( α ) đi qua H và có vectơ pháp tuyến là OH = ( 2;1;1) nên có phương trình: 2 x + y + z − 6 = 0c) Gọi giao điểm của ( α ) với ba trục Ox , Oy, Oz lần lượt là A ( a; 0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0; 0; c ) , a, b, c > 0Mặt phẳng ( α ) có phương trình theo đoạn chắn :x y z+ + =1a b c1 2 3+ + =1a b c11 11Thể tích của tứ diện OABC là V = B.h = . OA.OB.OC = abc33 26Do ( α ) qua M (1;2;3 ) nên ta có:1 2 3627.6+ + ≥ 33⇒1≥⇒ acb ≥ 27.6 ⇒ V ≥ 27a b cabcabca = 31 2 3 1Khi đó: V đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ V = 27 ⇔ = = = ⇔ b = 6a b c 3c = 9x y zPhương trình mặt phẳng ( α ) theo đoạn chắn : + + = 1 ⇔ 6 x + 3y + 2 z − 18 = 03 6 9Vấn đề 3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳngTrong không gian Oxyz , hai mặt phẳng ( α1 ) và ( α 2 ) có phương trình:Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 1 =(α ) : A x + B y + C z + D = 0 ; (α ) : A x + B y + C z + Dtuyến là: n = ( A ; B ; C ) , n = ( A ; B ; C )1111111A1(α ) ≡ (α ) ⇔ A1211=222221222112= 0 . Khi đó ( α1 ) và ( α 2 ) có hai vectơ pháp2B1 C1 D1==B2 C2 D2( α ) cắt ( α ) ⇔ A : B : C12A1(α ) / / (α ) ⇔ A12(α ) ⊥ (α ) ⇔ n≠ A2 : B2 : C21212=B1 C1 D1=≠B2 C2 D2⊥ n2 ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0Bài 13. Trong không gian Oxyz . Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình tổngquát sau:a) ( α1 ) : x + 2 y + 3z + 4 = 0, ( β1 ) : x + 5y − z − 9 = 0( α ) : x + y + z + 5 = 0, (β ) : 2 x + 2 y + 2 z + 6 = 0c) ( α ) : x + 2 y + 3z + 1 = 0, ( β ) : 3 x + 6 y + 9 z + 3 = 0b)2321a) Hai mặt phẳng ( α1 ) và ( β1 )HD Giảicó hai vectơ pháp tuyến là: nα = (1;2;3) , nβ = (1;5; −1)1 2 3≠ ≠⇒ ( α1 ) cắt ( β1 )1 5 −1b) Hai mặt phẳng ( α 2 ) và ( β2 ) có hai vectơ pháp tuyến là: nα = (1;1;1) , nβ = ( 2; 2;2 )Ta có:1 1 1 5= = ≠ ⇒ ( α 2 ) song song với ( β2 )2 2 2 6c) Hai mặt phẳng ( α 3 ) và ( β3 ) có hai vectơ pháp tuyến là: nα = (1;2;3) , nβ = ( 3;6;9 )Ta có:1 2 3 1= = = ⇒ ( α3 ) trùng với ( β3 )3 6 9 3Bài 14. Trong không gian Oxyz . Xác định m để cặp mặt phẳng sau đây vuông gócTa có:( α ) : 2 x + my + 2mz − 9 = 0, (β ) : 6 x − y − z − 10 = 0HD GiảiChương III. Phương pháp tọa độ trong17không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ PhápHai mặt phẳng ( α ) và ( β ) có hai vectơ pháp tuyến là: nα = ( 2; m;2m ) , nβ = ( 6; −1; −1)Ta có: ( α ) ⊥ ( β ) ⇔ nα .nβ = 0 ⇔ 12 − m − 2m = 0 ⇔ m = 4Bài 15. Trong không gian Oxyz . Xác định m và n để cặp mặt phẳng sau đây song song với nhau:a) ( α ) : 2 x + my + 3z − 5 = 0, ( β ) : nx − 8 y − 6 z + 2 = 0b) ( α ) : 3 x − 5y + mz − 3 = 0, ( β ) : 2 x + ny − 3z + 1 = 0HD Giải3n = −12m = 42 m3 −5=≠⇔⇔a) Ta có: ( α ) / / ( β ) ⇔ =n −8 −6 2−6m = −24n = −410m=−3n = −103 −5 m −33=≠⇔⇔b) Ta có: ( α ) / / ( β ) ⇔ =2 n −3 12m = −9n = − 92Vấn đề 4. Khoảng cách và gócPhương pháp:1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngCho mặt phẳng (α ) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) . Khoảng cách từ điểmM 0 đến mặt phẳng (α ) , kí hiệu d ( M 0 ,(α ) ) , được tính bởi công thức:d ( M 0 ,(α ) ) =Ax0 + By0 + Cz0 + DA2 + B2 + C 2Nhận xét: Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ( α ) thì d ( M ,(α ) ) = MHChú ý:Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên mặt phẳng này đếnmặt phẳng kia: Cho (α ) / /(β) , d ( (α ),(β) ) = d ( M ,(α ) ) , M ∈ ( β ) hay d ( (α ),(β) ) = d ( M ,(β) ) , M ∈ ( α )Khoảng cách giữa một đường thẳng song song với một mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm tùy ý trênđường thẳng đến mặt phẳng.2. Góc giữa hai mặt phẳngCho hai mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0, ( β ) : A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 , gọi nα , nβ lần lượt là haivectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) , ta có: cos ϕ =nα .nβnα . nβ=AA '+ BB '+ CC 'A 2 + B 2 + C 2 . A '2 + B '2 + C '2( α ) ⊥ (β ) ⇔ n ⊥ n ⇔ n .n = 0Bài 16. Trong không gian Oxyz . Cho A (1; −1;2 ) , B ( 3; 4;1) và mặt phẳng ( α ) : x + 2 y + 2 z − 10 = 0 . Tínhkhoảng cách từ điểm A, B đến mặt phẳng ( α ) .Chú ý:0 0 ≤ ϕ ≤ 90 0αβαβHD Giảix + 2 y A + 2 zA − 10 1 − 2 + 4 − 10 7Ta có: d ( A,(α ) ) = A==3312 + 22 + 22x B + 2 yB + 2 zB − 10 3 + 8 + 2 − 10d ( B,(α) ) ===1312 + 22 + 22Chương III. Phương pháp tọa độ trong18không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ PhápBài 17. Trong không gian Oxyz . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( α ) và ( β ) cho bởiphương trình sau: ( α ) : x + 2 y + 2 z + 11 = 0, ( β ) : x + 2 y + 2 x + 2 = 0 .HD Giảix + 2 yM + 2 zM + 11 0 + 2.0 + 2.(−1) + 11Ta lấy điểm M ( 0; 0; −1) ∈ ( β ) . d ( (α ),(β) ) = d M , ( α ) = M==3312 + 22 + 22()Bài 18. Trong không gian Oxyz . Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A ( 2;3; 4 ) và mặt phẳng( α ) : 2 x + 3y + z − 17 = 0HD GiảiĐiểm M ∈ Oz ⇒ M ( 0; 0; z )Ta có: M cách đều điểm A và mp ( α ) ⇔ AM = d ( M ,(α)) ⇔ 4 + 9 + (z − 4)2 =⇔ 13 + ( z − 4 ) =2Vậy điểm M ( 0; 0;3 ) là điểm cần tìm.( z − 17)z − 174 + 9 +1214⇔ z2 − 6z + 9 = 0 ⇔ z = 3 .Bài 19. Trong không gian Oxyz . Tìm trên trục Oy điểm cách đều hai mặt phẳng: ( α ) : x + y − z + 1 = 0 và(β) : x − y + z − 5 = 0HD GiảiGọi M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y0 ; 0 ) . Theo giả thiết, ta có:d ( M ,(α) ) = d ( M ,(β) ) ⇔0 + y0 − 0 + 112 + 12 + (−1)2=Vậy điểm M ( 0; −3; 0 ) là điểm cần tìm.0 − y0 + 0 − 512 + (−1)2 + 12⇔ y0 − 1 = y0 − 5 ⇔ y0 = −3Bài 20. Trong không gian Oxyz . Cho hai mặt phẳng ( α ) : x + y + z − 3 = 0 và ( β ) : x − y + z − 1 = 0 . Viếtphương trình mặt phẳng ( γ ) vuông góc với ( α ) và ( β ) sao cho khoảng cách từ O đến mp ( γ ) bằng 2.HD GiảiGọi phương trình mp ( γ ) : Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0Hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) lần lượt có VTPT là nα = (1;1;1) và nβ = (1; −1;1)Khi đó mặt phẳng ( γ ) có VTPT: nγ = nα ∧ nβ = ( 2; 0; −2 ) = 2 (1; 0; −1)Phương trình mp ( γ ) : x − z + D = 0Mặt khác: d ( O,(γ ) ) = 2 ⇔D = 2 2=2⇔ 2 D = −2 2DVậy, phương trình mặt phẳng ( γ ) : x − z + 2 2 = 0 hoặc x − z − 2 2 = 0Bài 21. Trong không gian Oxyz .a) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa trục Oz và tạo với mp ( β ) có phương trình 2 x + y − 5z = 0một góc 60 0b) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua A ( 3; 0; 0 ) , B ( 0; 0;1) và tạo với mp ( Oxy ) một góc 60 0HD GiảiChương III. Phương pháp tọa độ trong19không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ Phápa) Mặt phẳng ( α ) chứa trục Oz nên có dạng: Ax + By = 0 ⇒ nα = ( A; B; 0 )()Mặt phẳng ( β ) có VTPT nβ = 2;1; 5 . Theo giả thiết, ta có:2A + Bcos nα , nβ = cos 60 0 ⇔2=21⇔ 2 2 A + B = 10. A 2 + B 2 ⇔ 6 A 2 + 16 AB − 6 B 2 = 02A + B . 4 +1+ 51Chọn B = 1 , ta có: 6 A 2 + 16 A − 6 = 0 ⇔ A = hoặc A = −331Vậy, phương trình mặt phẳng ( α ) : x + y = 0 hoặc −3 x + y = 03b) Mặt phẳng ( α ) đi qua A, B và tạo với mp ( Oxy ) một góc 60 0 nên mp ( α ) cắt trục Oy tại điểmC ( 0; b; 0 ) ≠ O ( 0; 0; 0 ) ⇒ b ≠ 0x y z+ + = 1 ⇔ bx + 3y + 3bz − 3b = 03 b 1mp ( α ) và mp ( Oxy ) lần lượt có VTPT là: nα = ( b;3;3b ) , k = ( 0; 0;1)Khi đó phương trình của mp ( α ) :Theo giả thiết, ta có:cos nα , k = cos 60 0 ⇔3b2b + 9 + 9b2=193⇔ 6b = 10b 2 + 9 ⇔ b 2 =⇔b=±22626Vậy, phương trình mặt phẳng ( α ) : x − 26 y + 3 x − 3 = 0 hoặc x + 26 y + 3z − 3 = 0Vấn đề 5. Bài toán liên hệ giữa mặt phẳng và mặt cầuViết phương trình mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)Viết phương trình tiếp diện của mặt cầuMặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) có tâm I bán kính r ⇔ d ( I ,(α ) ) = rBài 22. Trong không gian Oxyz . Lập phương trình mặt cầu tâm I (1;1;5 ) và tiếp xúc với mặt phẳng(α ) : 2 x + 2y + z + 6 = 0HD GiảiMặt cầu tiếp xúc với mp ( α ) nên có bán kính r = d ( I ,(α) ) =2 +2 + 5+ 64 + 4 +1=5Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 5) = 25222Bài 23. Trong không gian Oxyz . Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểmA (1;2; −4 ) , B (1; −3;1) , C ( 2;2;3 ) và có tâm nằm trên mặt phẳng ( Oxy ) .HD GiảiGọi phương trình mặt cầu (S) tâm I ( a; b; c ) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 − 2 ax − 2 by − 2cz + d = 0Phương trình mặt phẳng ( Oxy ) : z = 0Ta có: I ∈ ( Oxy ) ⇒ c = 0 . Mặt khác: A, B, C ∈ (S ) .−2a − 4b + 8c + d = −21 a = −2−2a + 6b − 2c + d = −11b = 1⇔Do đó, ta có hệ phương trình: −4a − 4b − 6c + d = −17c = 0c = 0 d = −21Vậy, phương trình mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y − 21 = 0Chương III. Phương pháp tọa độ trong20không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966Toán 12GV. Lư Sĩ PhápBài 24. Trong không gian Oxyz . Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A ( 2; 0;1) , B (1; 0; 0 ) , C (1;1;1)và có tâm nằm trên mặt phẳng ( α ) : x + y + z − 2 = 0 .HD GiảiGọi phương trình mặt cầu (S) tâm I ( a; b; c ) có dạng: x 2 + y 2 + z2 − 2 ax − 2 by − 2cz + d = 0Phương trình mặt phẳng: ( α ) : x + y + z − 2 = 0Ta có: I ∈ ( α ) ⇒ a + b + c = 2 . Mặt khác: A, B, C ∈ (S ) .−4a − 2c + d = −5a = 1−2a + d = −1b = 0⇔Do đó, ta có hệ phương trình: −2a − 2b − 2c + d = −3 c = 1a + b + c = 2d = 1Vậy, phương trình mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 z + 1 = 0Bài 24. Trong không gian Oxyz . Lập phương trình mặt phẳng ( α ) song song với mặt phẳng(β ) : x + y + 2z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x2+ y 2 + z2 − 2 x + 4 y − 6 z + 8 = 0 .HD GiảiMặt phẳng ( α ) // ( β ) : x + y + 2 z + 1 = 0 ⇒ ( α ) : x + y + 2 z + D = 0,( D ≠ 1)Mặt cầu (S) có tâm I (1; −2;3 ) và bán kính r = 6Mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇔ d ( I ,(α ) ) = r ⇔1− 2 + 6 + D6Vậy mặt phẳng ( α ) : x + y + 2 z − 11 = 0 D = 1(l)= 6 ⇔ D+5 =6⇔ D = −11Bài 25. Trong không gian Oxyz . Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 2 y + 4 z + 5 = 0 tại điểm M ( 4;3; 0 )HD GiảiGọi ( α ) là tiếp diện cần tìm. Mặt cầu (S) có tâm I ( 3;1; −2 ) và M ∈ (S )( α ) đi qua điểm M ( 4;3; 0 ) và có VTPT là n = IM = (1;2;2 ) nên có phương trình:1 ( x − 4 ) + 2 ( y − 3 ) + 2 ( z − 0 ) = 0 ⇔ x + 2 y + 2 z − 10 = 0C. BÀI TẬP TỰ LUYỆNBài 1. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ u, v và w trong mỗi trường hợp sau:a) u = ( 4;3; 4 ) , v = ( 2; −1;2 ) , w = (1;2;1)c) u = ( 4;2;5) , v = ( 3;1;;3) , w = ( 2; 0;1)b) u = (1; −1;1) , v = ( 0;1;2 ) , w = ( 4;2;3 )d) u = ( −3;1; −2 ) , v = (1;1;1) , w = ( −2;10;1)Bài 2. Trong không gian Oxyz . Cho ba điểm A (1; 0; 0 ) , B ( 0; 0;1) ,C ( 2;1;1) .a) Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàngb) Tính chu vi và diện tích tam giác ABCc) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh Ad) Tính các góc của tam giác ABCBài 3. Trong không gian Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng ( α ) trong các trường hợp sau:a) Đi qua điểm A ( 2; 0;1) và nhận n = (1;1;1) làm vectơ pháp tuyếnChương III. Phương pháp tọa độ trong21không gian Oxyz _ SyPhap 0939989966 |
