Phần nguyên căn bậc hai là gì

Học toán - Chuyên đề phần nguyên

A. ĐỊNH NGHĨA

Ta biết rằng, mọi số thực x đều có thể viết được dưới dạng

x=n+z

trong đó n là số nguyên và 0z1

Chẳng hạn:

7,9=7+0,9

7,9=8+0,1

Hơn nữa, cách viết như trên là duy nhất. Ta gọi số nguyên n là phần nguyên của x và kí hiệu là [x]; còn z được gọi là phần phân của x và kia hiệu là {x}.

Từ phân tích, ta rút ra định nghĩa

Định nghĩa: Phần nguyên của số thực x, kí hiệu là [x], là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Phần phân của số thực x được định nghĩa bởi {x}=x[x].

Ngoài cách gọi thông thường là phần nguyên (intergal part) của x với kí hiệu là [x], một số tác giả nước ngoài còn gọi đó là floor function và kí hiệu là x. Sở dĩ thế vì người ta nêu ro ceiling function - kí hiệu x, như định nghĩa sau đây

x là số nguyên nhỏ nhất vượt quá x

Dễ dàng thấy rằng

x={x=x;xZ x+1;xZ

B. TÍNH CHẤT

1) x=[x]+{x}

2) x=[x]x Z

3) x={x} 0x<1

4) x1<[x]x

5) Nếu k nguyên thì

[x+k]=[x]+k;{x+k}={x}+k

Bạn hãy tập chứng minh những tính chất này đi!

Xin đưa thêm một số tính chất

6) [x+y][x]+[y]

7) [x]x<[x]+1

8) Nếu xy thì [x][y]

9) 0{x}<1

10) {x+y}{x}+{y}

Chứng minh tính chất 6

Viết x=[x]+{x},y=[y]+{y}

Khi đó

[x+y]=[([x]+[y])+({x}+{y})]=[x]+[y]+[{x}+{y}], (1)

Vì {x}0 và {y}0 nên [{x}+{y}]0.

Kết hợp với (1) ta suy ra[x+y][x]+[y]

Chứng minh tính chất 8

Vì xy nên α0 sao cho:

x=y+α$hay$x=[y]+({y}+α)

Suy ra

[x]=[y]+[({y}+α)] (2)

Vì α0 và {y}0 nên {y}+α0 và [({y}+α)]0.

Kết hợp với (2) ta có [x][y].

Xin giới thiệu thêm một số tính chất khá là thú vị

1) Giả sử 0<α R và nN. Lúc đó [αn] là số tất cả các số nguyên dương là bội của n nhưng không vượt quá α.

2) Giả sử 0<αR và nN. Lúc đó, [nα] là số tất cả các số nguyên dương là bội của α nhưng không vượt quá n.

3) Nếu a và b là hai số không âm, thì

[2a]+[2b][a]+[b]+[a+b]

Một số bài tập

Bài 1. Tìm số tự nhiên k lớn nhất sao cho

(1994!)1995 1995k

Giải

Sử dụng định lý Lagrande về số mũ của cao nhất của một số nguyên tố chứa trong n!

Ta có 1995=3.5.7.19

Theo định lý Legendre thì số mũ cao nhất của 19 có trong (1994)! là:

199419+1994(19)2+...+1994(19)k+...=109

Như vậy (1994)!(1995)109 và (1994)!/(1995)n110

Suy ra để ((1994)!)1995(1995)k thì k1091995=217455

Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn

[x2010]=[x2011]=[x2012]

Giải

Xét hệ phương trình: x2010=x2011=x2012

Vì xN nên ta có thể đặt x=2010k+r,(0kN;0r2009

Thay vào hệ trên ta có:

2010k+r2010=2011k+rk2011=2012k+r2k2012k=k+rk2011=k+r2k2012rk2011=r2k2012=0

Suy ra: r2k02kr20090k1004

Vậy có 1005 giá trị của k (từ 0 đến 1004). Tương ứng với mỗi giá trị k thì r nhận các giá trị từ 2k đến 2009, suy ra có 20092k+1=20102k giá trị của r tương ứng với mỗi giá trị của k

Như vậy số nghiệm tự nhiên của hệ trên là: k=01004(20102k)=1011030

Bài 3: Giải phương trình:

x2+3x=x2+12

Lời giải:

Đặt giá trị phần nguyên của 2 vế là m, ta có:

m=x2+1212=0m0

Suy ra:

x2+3x00x3

Mặt khác: Theo bất đẳng thức AM-GM thì x(3x)(x+3x2)2=94<3

Do đó: m{0,1,2}

Từ đây ta có 3 hệ bất phương trình tương ứng với 3 giá trị của m là:

$$(I)\;\;\;\begin{cases}0\le -x^2+3x

Nghiệm của (I) là $0\le x

Nghiệm của (II) là 22x<1

Nghiệm của (III) là 32x<52

(Đề nghị bạn đọc tự giải và kiểm tra)

Nghiệm của phương trình đã cho là hợp của 3 khoảng trên x[0,352)[22,1)[32,52)

Bài 4: (Rất đơn giản)

Giải phương trình: x2x2=0

Giải

Ta có: x2x2=(x+1)(x2)=0

Từ đó suy ra:

hoặc x=11x<0

hoặc x=22x<3

Bài tập tự luyện

Cho A=4n2+n,nN. Chứng minh rằng: {A}14

Bt1.6

(Romania - 2003)

Chứng minh rằng: 5x+5y3x+y+x+3y+x+yTừ kết quả đó chứng minh (5m)!(5n)! chia hết cho m!n!(3m+n)!(3n+m)!

Bt1.7

(USAMO-1975)

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n! tận cùng bằng 290 chữ số 0

Bt1.8

(HMMT-2003)

Tính tổng: S=k=02009(3k+20103k+1+20103k3k+1)

Bt1.10

Chứng minh rằng: k=0+x+2k2k+1=x

Bt1.11

Tính tổng Sn=k=1nk+12

Bt2.4

Tính tổng Sn=k=1n2k

Bt2.5

Cho dãy số{Un}1:{1,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,...}

Bt2.6

Được xác định bởi quy luật: 1 số 1; 3 số 2; 5 số 3;...;2k1 số k;...Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.

Tính: S=k=1nk23k+25

Bt2.11

Tính S=k=1n1{kmn}, với m,nN;n2

Bt2.12

(JMO-1995)

Cho λ là một số vô tỷ dương, n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng:

Bt2.13

k=1nkλ+k=1nλkλ=nnλ

Tính S=k=1n(n+1)28k+112

Bt2.14

Cho m,n là các số nguyên dương.Tính S=k=1nmk

Bt2.18

Cho p là số nguyên tố lẻ, q là số nguyên không chia hết cho p. Chứng minh rằng:k=1p1(1)kk2qp=(p1)(q1)2

Bt2.19

Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng:k=1p1kpkpp+12(modp)

Bt2.20

Cho p và q là 2 số lẻ,Tính giá trị biểu thức:

Bt2.21

A=k=1p12kqp+k=1q12kpq

Cho số nguyên n2. Tính:S=m=1n2k=1n+12mnmk+m1

Bt2.22