Giới hạn của hàm số là gì năm 2024
|
Mặc dù khái niệm giới hạn đã tiềm ẩn trong sự phát triển của ngành Giải tích từ thế kỷ thứ 17 và 18, nhưng, khái niệm hiện đại về giới hạn của hàm số mới được đề cập đầu tiên vào năm 1817 bởi nhà toán học Bolzano. Ông đã đưa ra khái niệm epsilon – delta khi đề cập đến khái niệm hàm số liên tục. Tuy nhiên, thật đáng tiếc, công trình này đã không được mọi người biết đến trong suốt cuộc đời của ông. (Felscher, Walter (2000), “Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta“, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 107). Năm 1821, Cauchy đã thảo luận về vấn đề giới hạn trong quyển Cours d’analyse, trong đó ông đã dùng thuật ngữ “approaches indefinitely” để mô tả khái niệm giới hạn. Việc mô tả này gần giống với định nghĩa giới hạn hiện tại. Dẫu vậy, điều này cũng không được công nhận vì ông mô tả nó bằng lời. (theo Grabiner, 1983, “Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus“, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 90). Mãi sau này, đến năm 1840, Weierstrass mới được biết đến như là người đầu tiên đưa ra thuật ngữ “epsilon – delta” để định nghĩa cho khái niệm giới hạn. Và đây cũng chính là khái niệm giới hạn mà ta biết như ngày nay. Bên cạnh đó, ông cũng là người đề xuất ký hiệu lim (1840) và limx->x0.(1854).(theo Burton, The History of Mathematics: An Introduction, p.616 – 617, 1997, Mc-GrawHill). Còn ký hiệu giới hạn như ngày nay, đặt dấu mũi tên phía dưới ký hiệu lim, là do nhà Toán học Hardy đưa ra vào năm 1908 trong quyển sách có tựa đề A Course of Pure Mathematics. (theo Miller, 2004) 2. Định nghĩa 2: Cho hàm số xác định trong một lân cận v(a) của a, số thực L hữu hạn được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi nếu:
Nói cách khác: nếu ta muốn f(x) gần với L đến mức nào mà bạn muốn (sai khác một khoảng ε khá bé (để bất đẳng thức (2) xảy ra), thì bạn có thể tìm được δ thích hợp để x đủ gần a (để có bất đẳng thức (1)). Khi đó, bất cứ khi nào x ≠ a thỏa mãn (1), giả sử tại x0 thì sẽ có giá trị f(x) thỏa mãn (2), và giá trị đó là f(x0). Như vậy, giới hạn hàm số f(x) khi x tiến đến a không phụ thuộc vào việc hàm số y = f(x) có xác định tại x = a hay không! Ví dụ: Chứng minh Nhận xét: hàm số không xác định tại x = 0 nhưng xác định trong lân cận của 0. Với mỗi số ε > 0 nhỏ tùy ý, ta có: Ta cần tìm giá trị sao cho: Ta có: Vậy ta chỉ cần chọn Khi đó: Vậy theo định nghĩa: 3. Giới hạn 1 bên: (Left limit and right limit) Ví dụ: Xét hàm số có miền xác định trong đoạn . Nếu a là 1 giá trị bất kỳ nằm trong khoảng (-3;3) thì tồn tại và bằng . Tuy nhiên, tại x = 3: Cho x tiến đến 3 từ phía bên trái (x < 3): Khi đó: tồn tại và bằng 0. Nhưng cho x tiến đến 3 từ phía bên phải (x > 3): thì không tồn tại ( do x không thuộc MXD của hàm số) Vậy, chỉ có những giá trị x < 3 mới tồn tại giới hạn nên xuất hiện khái niệm giới hạn trái. Tương tự, xét x dần tiến về -3, sẽ xuất hiện khái niệm giới hạn phải. Image via Wikipedia Giới hạn trái: Ký hiệu: Giới hạn phải: Ký hiệu: Nhận xét: Từ định nghĩa ta có: 4. Giới hạn vô cùng: (Infinity limit) Xét: Trong trường hợp này, khi x càng dẩn tiến đến 0, thì giá trị f(x) càng ngày càng lớn, lớn hơn bất kỳ 1 số thực dương nào cho trước, nói chung là Vô cùng lớn. Do đó: Tương tự: Ký hiệu được nhà toán học John Wallis sử dụng đầu tiên vào năm 1665 trong quyển sách có tựa đề “Arithmetica Infinitorum“. Ký hiệu này bắt nguồn từ việc người La Mã dùng nó để chỉ số 1000. Cũng giống như ngày nay, từ “myriad” (vô số) được dùng để chỉ một số lượng lớn mặc dù tiếng Hy Lạp cổ, nó có nghĩa là 10.000 |
