Đề bài
Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của GB và GC.
a] Chứng minh tứ giác MNEF là hình bình hành.
b] Lấy I, J thuộc tia đối của MG và NG sao cho MI = MG và NI = NG. Chứng minh tứ giác BCIJ là hình bình hành.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+] Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
+] Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
Lời giải chi tiết
a] Ta có MN là đường trung bình của \[\Delta ABC\]
\[ \Rightarrow MN//BC\] và \[MN = \dfrac{1}{ 2}BC.\]
Lại có EF là đường trung bình của \[\Delta BGC\] nên \[{\rm{EF}}// BC\] và \[{\rm{EF}} = \dfrac{1}{ 2}BC.\]
Do đó \[MN// {\rm{EF}}\] và \[MN = EF.\]
Vậy MNEF là hình bình hanh [hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau].
b] Tam giác ABC cóhai trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G
Nên G là trọng tâm của \[\Delta ABC\], do đó \[GN = \dfrac{1 }{ 2}GC\]
Mà GN = JN [gt] \[ \Rightarrow GJ = GC.\]
Tương tự ta có \[GM = \dfrac{1 }{ 2}GB\] [do G là trọng tâm tam giác ABC] mà \[GM=MI\] [gt]
Suy ra GI = GB.
Vậy tứ giác BJIC là hình bình hành [hai đường chéo CJ và BI cắt nhau tại trung điểm mỗi đường].