Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng \[d:x - 2y + 3 = 0\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi tọa độ điểm \[A,B\], suy ra tọa độ trung điểm \[I\] của \[AB\].
- \[A\] và \[B\] đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow u = 0\\I \in d\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết
\[A \in Ox\,,\,B \in Oy\] \[ \Rightarrow A\left[ {a;0} \right],B\left[ {0;b} \right],\] \[\overrightarrow {AB} = \left[ { - a;b} \right].\]
Vectơ chỉ phương của \[d\] là \[\overrightarrow u = \left[ {2;1} \right]\] .
Tọa độ trung điểm I của AB là \[\left[ {\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2}} \right]\] .
A và B đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow u = 0\\I \in d\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 0\\\dfrac{a}{2} - b + 3 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4.\end{array} \right.\]
Vậy \[A\left[ {2;0} \right],B\left[ {0;4} \right].\]