- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:
LG a
\[m[m - 6]x + m = - 8x + {m^2} - 2\];
Phương pháp giải:
\[{b_1}\]: Đưa phương trình về dạng \[{\rm{ax}} + b = 0\]
\[{b_2}\]: Biện luận:
Nếu a khác 0 thì phương trình có một nghiệm duy nhất \[x = - \dfrac{b}{a}\]
Nếu a bằng 0 và b khác 0 thì phương trình vô nghiệm
Nếu \[a = 0\] và \[b = 0\] thì phương trình có vô sô nghiệm
Lời giải chi tiết:
Phương trình đã cho tương đương với phương trình
\[ \Leftrightarrow \left[ {{m^2} - 6m} \right]x + 8x = {m^2} - m - 2\]
\[\Leftrightarrow [{m^2} - 6m + 8]x = {m^2} - m - 2\]
\[ \Leftrightarrow [m - 2][m - 4]x = [m + 1][m - 2]\]
Nếu\[m \ne 2\] và \[m \ne 4\], phương trình \[\Leftrightarrowx = \frac{{\left[ {m + 1} \right]\left[ {m - 2} \right]}}{{\left[ {m - 2} \right]\left[ {m - 4} \right]}} = \frac{{m + 1}}{{m - 4}}\]
Nếu m=2 thì PT là 0x=0 [luôn đúng].
Nếu m=4 thì PT là 0x=10 [vô lí].
Kết luận:
Với \[m \ne 2\] và \[m \ne 4\], phương trình có nghiệm \[x = \dfrac{{m + 1}}{{m - 4}}\];
Với m = 2, mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;
Với m = 4, phương trình vô nghiệm.
LG b
\[\dfrac{{[m - 2]x + 3}}{{x + 1}} = 2m - 1\];
Lời giải chi tiết:
Điều kiện của phương trình là \[x + 1 \ne 0\] \[ \Leftrightarrow x \ne - 1\]. Ta có.
\[\dfrac{{[m - 2]x + 3}}{{x + 1}} = 2m - 1\]
⟺\[[m - 2]x + 3 = [2m - 1][x + 1]\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {m - 2} \right]x + 3 = \left[ {2m - 1} \right]x + 2m - 1\\
\Leftrightarrow \left[ {2m - 1} \right]x - \left[ {m - 2} \right]x = 3 + 1 - 2m\\
\Leftrightarrow \left[ {2m - 1 - m + 2} \right]x = 4 - 2m
\end{array}\]
\[[m + 1]x = 4 - 2m\] [1] .
Với \[m = - 1\] phương trình [1] vô nghiệm nên phương trình đã cho cũng vô nghiệm.
Với \[m \ne - 1\] phương trình [1] có nghiệm \[x = \dfrac{{4 - 2m}}{{m + 1}}\]
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện \[x \ne - 1\] khi và chỉ khi \[\dfrac{{4 - 2m}}{{m + 1}} \ne - 1\] hay \[ - 2m + 4 \ne - m - 1\]\[ \Leftrightarrow m \ne 5\]
Kết luận
Với m = -1 hoặc m = 5 phương trình vô nghiệm
Với \[m \ne - 1\] và \[m \ne 5\] phương trình có nghiệm là \[x = \dfrac{{4 - 2m}}{{m + 1}}\].
LG c
\[\dfrac{{[2m + 1]x - m}}{{x - 1}} = x + m\];
Lời giải chi tiết:
Điều kiện của phương trình là \[x - 1 \ne 0\]\[ \Leftrightarrow x \ne 1\]. Khi đó ta có
\[\dfrac{{[2m + 1]x - m}}{{x - 1}} = x + m\]
\[ \Leftrightarrow [2m + 1]x - m = [x + m][x - 1]\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {2m + 1} \right]x - m = {x^2} + \left[ {m - 1} \right]x - m\\
\Leftrightarrow {x^2} + \left[ {m - 1} \right]x - \left[ {2m + 1} \right]x = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + \left[ {m - 1 - 2m - 1} \right]x = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + \left[ { - m - 2} \right]x = 0\\
\Leftrightarrow x\left[ {x - m - 2} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = m + 2
\end{array} \right.
\end{array}\]
Giá trị \[x = m + 2\] thỏa mãn điều kiện của phương trình khi \[m + 2 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne - 1\].
Kết luận :
Vậy với \[m = - 1\] phương trình có nghiệm duy nhất \[x = 0\];
Với \[m \ne - 1\] phương trình có hai nghiệm \[x = 0\] và \[x = m + 2\].
LG d
\[\dfrac{{[3m - 2]x - 5}}{{x - m}} = - 3\].
Lời giải chi tiết:
Điều kiện của phương trình là \[x - m \ne 0\]\[ \Leftrightarrow x \ne m\]. Khi đó ta có
\[\dfrac{{[3m - 2]x - 5}}{{x - m}} = - 3\]
\[ \Leftrightarrow [3m - 2]x - 5 = - 3x + 3m\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {3m - 2} \right]x + 3x = 3m + 5\\
\Leftrightarrow \left[ {3m - 2 + 3} \right]x = 3m + 5
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow [3m + 1]x = 3m + 5\].
Với \[m \ne - \dfrac{1}{3}\] nghiệm của phương trình cuối là \[x = \dfrac{{3m + 5}}{{3m + 1}}\].
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình khi và chỉ khi
\[\dfrac{{3m + 5}}{{3m + 1}} \ne m\]\[ \Leftrightarrow 3m + 5 \ne 3{m^2} + m\]
\[ \Leftrightarrow 3{m^2} - 2m - 5 \ne 0\]\[ \Leftrightarrow m \ne - 1\] và \[m \ne \dfrac{5}{3}\]
Kết luận:
Với \[m = - \dfrac{1}{3}\] hoặc \[m = - 1\] hoặc \[m = \dfrac{5}{3}\] phương trình vô nghiệm.
Với \[m \ne - \dfrac{1}{3}\], \[m \ne - 1\] và \[m \ne \dfrac{5}{3}\] phương trình có một nghiệm \[x = \dfrac{{3m + 5}}{{3m + 1}}\].