Đề bài
Chứng minh rằng với mọi \[\alpha \] làm cho biểu thức\[{{\sin \alpha + \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }}\] có nghĩa, biểu thức đó không thể là một số âm.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\dfrac{{\sin \alpha + \tan \alpha }}{{\cos \alpha + \cot \alpha }}
= \dfrac{{\sin \alpha + \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\cos \alpha + \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}\\
= \dfrac{{\sin \alpha \left[ {1 + \dfrac{1}{{\cos \alpha }}} \right]}}{{\cos \alpha \left[ {1 + \dfrac{1}{{\sin \alpha }}} \right]}}\\
= \tan \alpha .\dfrac{{1 + \dfrac{1}{{\cos \alpha }}}}{{1 + \dfrac{1}{{\sin \alpha }}}}\\
= \tan \alpha .\dfrac{{\dfrac{{\cos \alpha + 1}}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha }}}}\\
= \tan \alpha .\left[ {\dfrac{{\cos \alpha + 1}}{{\cos \alpha }}.\dfrac{{\sin \alpha }}{{\sin \alpha + 1}}} \right]\\
= {\tan ^2}\alpha .\dfrac{{\cos \alpha + 1}}{{\sin \alpha + 1}}
\end{array}\]
Vì\[1 + c{\rm{os}}\alpha \ge {\rm{0}}\] và\[1 + \sin \alpha > {\rm{0}}\] cho nên biểu thức đã cho không thể có giá trị là một số âm.