Đề bài
Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy chứng minh các kết quả sau đây:
\[{[\overrightarrow a + \overrightarrow b ]^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \];
\[{[\overrightarrow a - \overrightarrow b ]^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \];
\[[\overrightarrow a + \overrightarrow b ][\overrightarrow a - \overrightarrow b ] = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\];
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thực hiện nhân các tổng, hiệu véc tơ với nhau và sử dụng chú ý \[{\overrightarrow a ^2} = \overrightarrow a .\overrightarrow a = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\].
Lời giải chi tiết
Ta có: \[{[\overrightarrow a + \overrightarrow b ]^2} = [\overrightarrow a + \overrightarrow b ].[\overrightarrow a + \overrightarrow b ]\]\[ = \overrightarrow a .\overrightarrow a + \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow a + \overrightarrow b .\overrightarrow b \] \[ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \]
\[{\left[ {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right]^2} = \left[ {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right]\left[ {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right]\] \[ = \overrightarrow a .\overrightarrow a - \overrightarrow b .\overrightarrow a - \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow b \] \[ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\].
\[[\overrightarrow a + \overrightarrow b ][\overrightarrow a - \overrightarrow b ]\]\[ = \overrightarrow a .\overrightarrow a + \overrightarrow b .\overrightarrow a - \overrightarrow a .\overrightarrow b - \overrightarrow b .\overrightarrow b \] \[ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\]