Công thức tính thiết diện hình nón
Thiết diện chứa đỉnh, thiết diện qua đỉnh của khối nón là phần bài tập khó với đại đa số các học sinh. Trong phần bài tập này có nhiều kiến thức tổng hợp. Kiến thức liên quan đến góc, khoảng cách, và hình học lớp 09. Show Tóm tắt lý thuyết và các dựng thiết diệnTrong phần tóm tắt lý thuyết này có 3 đầu mục chúng ta cần phải làm rõ.
Bài tập áp dụng và bài tập tự làmBài 01 Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, bán kính, R= 3cm , góc ở đỉnh hình nón là α = 1200. Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB, trong đó A, B thuộc đường tròn đáy. Diện tích tam giác SAB bằng A. 3√3cm2 B.6√3cm2 C.6 cm2 D.3 cm2 Bài 02 Cho hình nón có chiều cao h = 20, bán kính đáy r = 25. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12. Tính diện tích S của thiết diện đó. A. S = 500 B. S = 400 C. S = 300 D. S = 406 Bài 03 Cho hình nón có chiều cao và bán kính đáy đều bằng 1. Mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng 1. Khoảng cách từ tâm của đáy tới mặt phẳng (P) bằng Bài 04: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn (O;5). Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và B sao cho SA = AB = 8 . Tính khoảng cách từ O đến ( SAB) . Bài 05. Liên quan đến khoảng cáchCho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 600, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng R/2. Đường cao của hình nón bằng. ( Link xem lại công thức khoảng cách) Bài 06: Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a , bán kính đáy bằng 3a . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 3a/2. . Diện tích của thiết diện đó bằng Bài 07: Cho hình nón có chiều cao 6a . Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón và có khoảng cách đến tâm là 3a , thiết diện thu được là một tam giác vuông cân. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng Bài 08:
Lời giải chi tiết Thiệt diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB có cạnh bên SA = l, cạnh đáy AB = 2R Theo bài ra, ta có $S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}\Leftrightarrow 2{{l}^{2}}=4{{R}^{2}}\Leftrightarrow l=R\sqrt{2}$ Mặt khác $AB=2R=a\sqrt{6}\Rightarrow R=a\sqrt{6}$suy ra $l=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\sqrt{2}=a\sqrt{3}$ Do đó $h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\to V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$ Chọn A.
Lời giải chi tiết Thiết diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB có cạnh bên SA = l, cạnh đáy AB =2R Theo bài ra, tam giác SAB vuông $\Rightarrow SA\bot SB\Rightarrow {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{S{{A}^{2}}}{2}=\frac{{{l}^{2}}}{2}={{a}^{2}}\Rightarrow l=a\sqrt{2}$ Do đó $l=R\sqrt{2}\Rightarrow R=\frac{l}{\sqrt{2}}=a$. Vậy diện tích cần tìm là ${{S}_{xq}}=\pi Rl=\sqrt{2}\pi {{a}^{2}}$. Chọn B.
Lời giải chi tiết Theo bài ra, tam giác SAB đều cạnh a $\Rightarrow SA=SB=AB=a$ Do đó, chiều cao $SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, bán kính đáy $R=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$ Vậy thể tích cần tính là $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{\pi }{3}.{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$ Chọn C
Lời giải chi tiết Theo bài ra, tacó $AB=2R=18$ và $\widehat{SAO}={{30}^{o}}$ Tam giác SAO vuông tại O, có $SO=OA.\tan \widehat{SAO}=9.\tan {{30}^{o}}=3\sqrt{3}$ Thiết diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB Suy ra diện tích cần tính là ${{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}SO.AB=\frac{1}{2}.3\sqrt{3}.18=27\sqrt{3}c{{m}^{2}}$ Chọn D
Lời giải chi tiết Theo bài ra, ta có $\left\{ \begin{array} {} 2l+2R=10 \\ {} \frac{1}{2}h.2R=2\sqrt{5} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} l+R=5 \\ {} h.R=2\sqrt{5} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} l=5-R \\ {} R.\sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}=2\sqrt{5} \\ \end{array} \right.$ Do đó ${{R}^{2}}.\left[ \left( 5-{{R}^{2}} \right)-{{R}^{2}} \right]=20\Leftrightarrow {{R}^{2}}\left( 25-10R \right)=5\Leftrightarrow 10{{R}^{3}}-25{{R}^{2}}+20=0\Rightarrow R=2$ Suy ra $h=\sqrt{5}$ Vậy thể tích cần tính là $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{.2}^{2}}.\sqrt{5}=\frac{4\sqrt{5}\pi }{3}c{{m}^{3}}$. Chọn B
Lời giải chi tiết Vì góc ở đỉnh bằng ${{120}^{o}}\Rightarrow 2R=l\sqrt{3}\Rightarrow SA=\frac{2\sqrt{3}}{3}OA=\frac{2\sqrt{3}}{3}R$ Gọi H là trung điểm của AB$\Rightarrow OH\bot AB$ mà $SO\bot OH$ Suy ra OH là đoạn vuông góc chung của AB và SO => OH =3 Tam giác OAH vuông tại H, có $AH=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-9}$ Tam giác SAB vuông tại S, có $S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}$ $\Leftrightarrow 2.{{\left( \frac{2\sqrt{3}}{3}R \right)}^{2}}=4\left( {{R}^{2}}-9 \right)\Leftrightarrow -\frac{4}{3}{{R}^{2}}=-36\Rightarrow R=3\sqrt{3}\Rightarrow l=6$ Vậy diện tích xung quanh cần tính là ${{S}_{xq}}=\pi Rl=18\sqrt{3}\pi $. Chọn A.
Lời giải chi tiết Theo giả thiết, ta có tam giác OAB đều cạnh R Gọi E là trung điểm AB, suy ra $OE\bot AB$và $OE=\frac{R\sqrt{3}}{2}$ Gọi h là hình chiếu của O trên SE $\Rightarrow OH\bot SE$ Ta có $\left\{ \begin{array} {} AB\bot OE \\ {} AB\bot SO \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SEO \right)\Rightarrow AB\bot OH$ Từ đó suy ra $OH\bot \left( SAB \right)$ nên $d\left( O;\left( SAB \right) \right)=OH=\frac{R}{2}$ Tam giác SEO vuông tại O, có $\frac{1}{S{{O}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}-\frac{1}{O{{E}^{2}}}=\frac{8}{3{{R}^{2}}}\Rightarrow SO=\frac{R\sqrt{6}}{4}$ Chọn B
Lời giải chi tiết Theo giả thiết, ta có tam giác SAB vuông cân tại S Gọi E là trung điểm AB, suy ra $\left\{ \begin{array} {} SE\bot AB \\ {} OE\bot AB \\ \end{array} \right.$ và $SE=\frac{1}{2}AB$ Ta có ${{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}AB.SE=4{{a}^{2}}\Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AB=4{{a}^{2}}\Rightarrow AB=4a$ Gọi H là hình chiếu của O trên SE => $OH\bot SE$ Lại có $\left\{ \begin{array} {} AB\bot OE \\ {} AB\bot SO \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SEO \right)\Rightarrow AB\bot OH$ Từ đó suy ra $OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \widehat{\left( SO;\left( SAB \right) \right)}=\widehat{OSH}={{30}^{o}}$ Tam giác SEO vuông tại O, có $SO=SE.\cos \widehat{\text{OS}E}=a\sqrt{3}$. Chọn D.
Lời giải chi tiết Gọi I là trung điểm AB, suy ra $OI\bot AB,SI\bot AB$ và OI = a Tam giác SAO vuông tại O, có $OA=SA.\cos \widehat{SAO}=\frac{SA\sqrt{3}}{2}$ Tam giác SAI vuông tại I, có $IA=SA\cos \widehat{SAB}=\frac{SA}{2}$ Tam giác OIA vuông tại I, có $O{{A}^{2}}=O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}$ $\Leftrightarrow \frac{3}{4}S{{A}^{2}}={{a}^{2}}+\frac{1}{4}S{{A}^{2}}\Leftrightarrow S{{A}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow SA=a\sqrt{2}$ Vậy độ dài đường sinh cần tìm là $l=a\sqrt{2}$. Chọn C.
Lời giải chi tiết Vì góc ở đỉnh là 60o nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R $\Rightarrow $ Đường cao của hình nón là $SI=R\sqrt{3}$ Gọi M là trung điểm của AB thì $\left\{ \begin{array} {} IM\bot AB \\ {} SM\bot AB \\ \end{array} \right.$và $IM=\frac{R\sqrt{2}}{2}$ Tam giác SMI vuông tại I, có $SM=\sqrt{S{{I}^{2}}+I{{M}^{2}}}=\frac{R\sqrt{14}}{2}$ Vậy diện tích cần tính là ${{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}AB.SM=\frac{{{R}^{2}}\sqrt{7}}{2}$ . Chọn A. |