Cách giải các bài toán nâng cao lớp 7 năm 2024
|
Khoá học Toán nâng Cao lớp 7 được HỌC247 thiết kế trên cơ sở chương trình nâng cao của Bộ GD&ĐT. Khóa học được giảng dạy bởi bởi Nhà giáo Nguyễn Đức Tấn - Giáo viên Toán trường THCS Nguyễn Du – Q.1 – TP.HCM, tác giả hơn 50 đầu sách hay dành cho học sinh THCS cùng trợ giảng là Cô Lê Thị Thu Hằng - Giáo viên HỌC247. Show Khóa học dành cho các em học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức nền tảng, nâng cao kiến thức và khả năng tư duy toán học, rèn luyện kỹ năng giải toán, đạt kết quả tốt ở trường và các kỳ thi HSG lớp 7. Phương pháp giải toán được trình bày một cách hệ thống, dễ hiểu, dễ nhớ thông qua các ví dụ minh họa từ cơ bản đến nâng cao. Giáo viên sẽ là người hướng dẫn đảm bảo chất lượng học tập của học sinh, trợ giảng sửa bài tập, quan tâm theo dõi báo cáo tình hình học tập thường xuyên, giúp đỡ học sinh rèn luyện thêm kỹ năng giải bài tập trong suốt quá trình học. Sau mỗi bài giảng các em được luyện tập qua bài tập tự luyện với các bài toán được chọn lọc kĩ lưỡng có hướng dẫn giải chi tiết nhằm hiểu sâu lý thuyết, áp dụng phương pháp giải thuần thục và hoàn thiện kỹ năng làm bài. NỘI DUNG KHÓA HỌC - 8 video bài ôn tập lớp 6 và 6 video bài giảng + video sửa bài tập lớp 7 - Bài kiểm kết thúc học kỳ hè và video sửa bài chi tiết - 13 video bài học và 13 video bài sửa bài tập Toán NC lớp 7 HK1 - Ôn thi giữa HK1, Bài kiểm tra giữa HK1; Ôn thi cuối HK1, Bài kiểm tra cuối HK1 Toán NC lớp 7 - 16 video bài học và 16 video bài sửa bài tập Toán NC lớp 7 HK2 - Ôn thi giữa HK2, Bài kiểm tra giữa HK2; Ôn thi cuối HK2, Bài kiểm tra cuối HK2 Toán NC lớp 7 Chúc các em có những giờ học thú vị, bổ ích và hiệu quả qua sự dẫn dắt của Thầy Nguyễn Đức Tấn và Cô Lê Thị Thu Hằng! MỤC LỤC Trang 5:Chương I: SỐ HỮU TỈ – SỐ THỰC Trang 8:Chủ đề 1: Số hữu tỉ và các phép toán liên quan số hữu tỉ Trang 20:Chủ đề 2: Các phép cộng, trừ, nhân, chia số trên tập số hữu tỉ Trang 47:Chủ đề 3: Trị tuyệt đối của số hữu tỉ Trang 96:Chủ đề 4: Lũy thừa số hữu tỉ và các bài toán liên quan Trang 144:Chủ đề 5: Tỉ lệ thức- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Trang 194:Chủ đề 6: Số thập phân hữu hạn- vô hạn tuần hoàn- làm tròn số Trang 206:Chủ đề 7: Số vô tỉ- căn bậc hai và số thực Trang 208:Chủ đề 8: Bài tập ôn tập chương I Trang 227:Chương II: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Trang 230: Chủ đề 1: Đại lượng tỉ lệ thuận Trang 246: Chủ đề 2: Đại lượng tỉ lệ nghịch Trang 274: Chủ đề 3: Hàm số Trang 291: Chủ đề 4: Mặt phẳng tọa độ Trang 305:Chủ đề 5: Điểm thuộc đồ thị của hàm số Trang 313: chủ đề 6: Đồ thị của hàm số Trang 329:Chủ đề 7: Bài tập ôn tập chương II Các dạng toán nâng cao lớp 7 tổng hợp một số chuyên đề đại số nâng cao lớp 7 dành cho học sinh khá giỏi. Hi vọng qua tài liệu này, các bạn học sinh sẽ biết cách vận dụng các kiến thức để giải bài tập Toán 7 như toán tính tổng của dãy số mà các số hạng cách đều, dãy số mà các số hạng không cách đều... Đây là tài liệu hay dành cho các bạn ôn thi học sinh giỏi, cũng là tài liệu cho thầy cô giáo tham khảo, luyện thi đổi tuyển học sinh giỏi của mình. Mời các bạn cùng tham khảo. Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 7, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 7 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 7. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn. DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀUBài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 Hướng dẫn giải Cách 1: B = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) = 49.101 = 4949 Khi đó B = 1 + 4949 = 4950 Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi cặp có 2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc. Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau: Cách 2: B = 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99+B = 99 + 98 + 97 + ... + 3 + 2 + 1 2B = 100 + 100 + ... + 100 + 100 ⇒ 2B = 100.99 ⇒B = 50.99 = 4950 Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999 Hướng dẫn giải Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ. Áp dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên có 250 cặp số) Cách 2: Ta thấy: 1= 2.1 - 1 3 = 2.2 - 1 5 = 2.3 - 1 ... 999 = 2.500 - 1 Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các số hạng của dãy số C là 500 số hạng. Áp dụng cách 2 của bài trên ta có: C = 1 + 3 + 5 + ... + 995 + 997 + 999+C = 999 + 997 + 995 + ... + 5 + 3 + 1 2C = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 1000 ⇒ 2C = 1000 . 500 ⇒C = 1000 . 250 = 250000 Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998 Hướng dẫn giải Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm của bài tập 3 để tìm số các số hạng của tổng D như sau: Ta thấy: 10 = 2.4 + 2 12 = 2.5 + 2 14 = 2.6 + 2 ... 998 = 2.498 + 2 Tương tự bài trên: từ 4 đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng của D là 495, mặt khác ta lại thấy: 495 = (998 - 10)/2 + 1 số các số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách rồi cộng thêm 1 Khi đó ta có: D = 10 + 12 = ... + 996 + 998+D = 998 + 996 ... + 12 + 10 2D = 1008 + 1008 + ... + 1008 + 1008 2D = 1008.495 → D = 504.495 = 249480 Thực chất D = (998 + 10).495 / 2 Qua các ví dụ trên, ta rút ra một cách tổng quát như sau: Cho dãy số cách đều u1, u2, u3, ... un (*), khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dãy là d. + Khi đó số các số hạng của dãy (*) là: (1) + Tổng các số hạng của dãy (*) là: %7D%7D%7B2%7D) (2) + Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính được số hạng thứ n của dãy (*) là: un = u1 + (n - 1)d Hoặc khi u1 = d = 1 thì S1 = 1 + 2 + 3 + ...+ n = n(n + 1) /2 DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) Hướng dẫn giải Cách 1: Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó: Gọi a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1 = 1.2.3 - 0.1.2 a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2 = 2.3.4 - 1.2.3 a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 ………………….. an-1 = (n - 1)n → 3an-1 =3(n - 1)n → 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n an = n(n + 1) → 3an = 3n(n + 1) → 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có: 3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2) 3(a1 + a2 + ... + an) = n(n + 1)(n + 2) ⇒ %5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B3%7D) Cách 2: Ta có 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 3A = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] 3A = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) 3A = n(n + 1)(n + 2) %5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B3%7D) * Tổng quát hoá ta có: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; … Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1) Hướng dẫn giải Áp dụng tính kế thừa của bài 1 ta có: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + ... + (n - 1)n(n + 1).4 4B = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] 4B = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) .n.%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B4%7D) Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3) Hướng dẫn giải Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3) 3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3) ……. n(n + 3) = n(n + 1) + 2n Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n C = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n(n + 1) + 2n C = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + … + 2n) ⇒ 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n) 3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n) 3C = n(n + 1)(n + 2) + n%7D%7B2%7D) ⇒ C = (n%2B2)%7D%7B3%7D) + n%7D%7B2%7D) \= (n%2B5)%7D%7B3%7D) Bài 4: Tính D = 12 + 22 + 32 + .... + n2 Hướng dẫn giải Nhận xét: Các số hạng của bài 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, còn ở bài này là tích của hai số tự nhiên giống nhau. Do đó ta chuyển về dạng bài tập 1: Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ n(n + 1) A = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + .... + n.(n + 1) A = 12 + 1.1 + 22 + .1 + 32 + 3.1 + ... + n2 + n.1 A = (12 + 22 + 32 + .... + n2) + (1 + 2 + 3 + ... + n) Mặt khác theo bài tập 1 ta có: %5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B3%7D) và 1 + 2 + 3 + .... + n = %7D%7D%7B2%7D) ⇒D = 12 + 22 + 32 + .... + n2 = %5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B3%7D%20-%20%5Cfrac%7B%7Bn%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%201%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Bn%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7B2n%20%2B%201%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B6%7D) Bài 5: Tính E = 13 + 23 + 33 + ... + n3 Hướng dẫn giải Tương tự bài toán ở trên, xuất phát từ bài toán 2, ta đưa tổng B về tổng E: B = 1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 + ... + (n - 1)n(n + 1) B = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 -1).3.(3 +1) + ....+ (n - 1).n.(n + 1) B = (23 - 2) + (33 - 3) + .... + (n3 - n) B = (23 + 33 + .... +n3) - (2 + 3 + ... + n) B = (13 + 23 + 33 + ... + n3) - (1 + 2 + 3 + ... + n) B = (13 + 23 + 33 + ... + n3) - %7D%7B2%7D) ⇒ 13 + 23 + 33 + ... + n3 = B + %7D%7B2%7D) Mà .n%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B4%7D) ⇒ E = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = .n%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7Bn%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B4%7D) + %7D%7B2%7D) Bài 6. (Trang 23 SGK Toán 7 tập 1) Biết rằng 12 + 22 + 32 +…+ 102 = 385, đố em tính nhanh được tổng S = 22 + 42 + 62 + … + 202 Lời giải Ta có: S = 22 + 42 + 62 + … + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.10)2 = \= 12.22 + 22.22 + 22.32 + …+ 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + … + 102) = 4. (12 + 22 + 32 + … + 102) = 4.385 = 1540. Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + … + 102 thì ta có: S = 4.P. Do đó, nếu cho S thì ta sẽ tính được P và ngược lại. Tổng quát hóa ta có: MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO TOÁN 7 DẠNG KHÁCBài 1. Tính S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263 Lời giải Cách 1: Ta thấy: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263 (1) 2S1 = 2 + 22 + 23 + … + 263 + 264 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: 2S1 - S1 = 2 + 22 + 23 + … + 263 + 264 - (1 + 2 + 22 + 23 + … + 263) \= 264 - 1. Hay S1 = 264 - 1 Cách 2: Ta có: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263 = 1 + 2(1 + 2 + 22 + 23 + … + 262) (1) \= 1 + 2(S1 - 263) = 1 + 2S1 - 264 S1 = 264 - 1 Bài 2. Tính giá trị của biểu thức S = 1 +3 + 32 + 33 + … + 32000 (1) Lời giải: Cách 1: Áp dụng cách làm của bài 1: Ta có: 3S = 3 + 32 + 33 + … + 32001 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được: 3S - 2S = (3 + 32 + 33 + … + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + … + 32000) Bài 3. Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 29; B = 5.28. Hãy so sánh A và B Cách 1: Ta thấy: B = 5.28 = (23 + 22 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).26 \= 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 \= 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + 25 (Vì 26 = 2.25). Vậy rõ ràng ta thấy B > A Cách 2: Áp dụng cách làm của các bài tập trên ta thấy đơn giản hơn, thật vậy: A = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 29 (1) 2A = 2 + 22 + 23 + … + 29 + 210 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: 2A - A = (2 + 22 + 23 + … + 29 + 210) - (1 + 2 + 22 + 23 + … + 29) \= 210 - 1 hay A = 210 - 1 Còn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28 Vậy B > A * Ta có thể tìm được giá trị của biểu thức A, từ đó học sinh có thể so sánh được A với B mà không gặp mấy khó khăn. Bài 4. Tính giá trị của biểu thức S = 1 + 2.6 + 3.62 + 4.63 + … + 100.699 (1) Ta có: 6S = 6 + 2.62 + 3.63 + … + 99.699 + 100.6100 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được: 5S = 6 - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + … + (99.699 - 100.699) + + 100.6100 - 1 = 100.6100 - 1 - (6 + 62 + 63 + … + 699) Bài 5. Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; ... Hỏi chữ số thứ 673 là chữ số nào? Lời giải Ta thấy: Từ 1 đến 99 có: 9 + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu bài ta còn thiếu số các chữ số của dãy là: 673 - 189 = 484 chữ số, như vậy chữ số thứ 673 phải nằm trong dãy các số có 3 chữ số. Vậy ta xét tiếp: Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số Như vậy từ 1 đến 260 đã có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đầu bài thì chữ số thứ 673 sẽ là chữ số 2 của số 261. Một số bài tập tự giải:
Tài liệu vẫn còn, mời các bạn tải về xem toàn bộ tài liệu ---------- Mời các bạn tải về để xem toàn bộ Các dạng toán nâng cao lớp 7. Chắc hẳn thông qua tài liệu này, các bạn có thể nắm được các dạng toán về tính tổng của dãy số mà các số hạng cách đều, dãy số mà các số hạng không cách đều... Hy vọng đây là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh ôn luyện kỹ các dạng toàn 7 thường gặp, từ đó chuẩn bị tốt cho kỳ thi học sinh giỏi lớp 7 môn Toán sắp tới. Để xem thêm các tài liệu luyện thi học sinh giỏi, mời các bạn vào chuyên mục Thi học sinh giỏi trên VnDoc nhé. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh nâng cao kỹ năng giải bài tập Toán 7. Ngoài ra, mời các bạn tham khảo tài liệu sau: Toán lớp 7, Giải bài tập Toán lớp 7, Tài liệu học tập lớp 7, Đề thi giữa kì 1 lớp 7, Đề thi học kì 1 lớp 7 |
