Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng trong Oxyz

A. $x-2y+2z-5=0$ hoặc $x-2y+2z+7=0.$

B. $x-2y+2z-5=0$ hoặc $x-2y+2z-7=0.$

C. $x-2y+2z+5=0$ hoặc $x-2y+2z-7=0.$

D. $x-2y+2z+5=0$ hoặc $x-2y+2z+7=0.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Ta có phương trình mặt phằng (Q) có dạng: $x-2y+2z+D=0$

Khi đó $d\left( (P);(Q) \right)=\frac{\left| D+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=2\Rightarrow \left| D+1 \right|=6\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & D=5 \\ & D=-7 \\ \end{align} \right.$

Bài tập 10: Cho 4 điểm $A(2;2;3);B(0;1;0);\,C(1;2;1);\,D(3;1;5).$ Phương trình mặt phẳng (P) cách đều 2 đường thẳng AB và CD là:

A. $14x+4y-8z+3=0.$ B. $14x-4y-8z+1=0.$ C. $14x-4y-8z-3=0.$ D. $14x-4y-8z+3=0.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} \right]=(-7;2;4)$ suy ra $(P):7x-2y-4z+D=0$

Mặt khác $d\left( A;(P) \right)=d\left( C;(P) \right)\Leftrightarrow \left| D-2 \right|=\left| D-1 \right|\Leftrightarrow D=\frac{3}{2}.$

Vậy $(P):14x-4y-8z+3=0.$

Bài tập 11: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) $M(2;3;1);\,d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-2}$

b) $M(1;0;0);\,d:\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{1}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $A(-2;1;-1)\in d\Rightarrow \overrightarrow{AM}=(4;2;2);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;2;-2)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=(-8;10;6)$

Do đó $d(M;d)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{64+100+36}}{\sqrt{9}}=\frac{10\sqrt{2}}{3}.$

b) Ta có: $A(3;3;1)\in d\Rightarrow \overrightarrow{AM}(-2;-3;-1);\overrightarrow{{{u}_{d}}}(1;2;1)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=(-1;1;-1)$

Do đó $d(M;d)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Bài tập 12: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=2-3t \\ & y=2t \\ & z=4-2t \\ \end{align} \right.$ và ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}$

b) ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{2}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z-1}{-5}$

Lời giải chi tiết

a)Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A(2;0;4)$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(-3;2;-2)$

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ qua $B(1;2;-1)$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(3;1;2)$

Gọi (P) là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và song song với ${{d}_{2}}$ ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(6;0;-9)=3(2;0;-3)$

Suy ra $(P):2x-3z+8=0\Rightarrow d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=d({{d}_{2}};(P))=d(B;(P))=\frac{\left| 13 \right|}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}.$

Cách 2: Ta có: $d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]}=\frac{\left| (6;0;-9).(-1;2;-5) \right|}{\sqrt{36+81}}=\sqrt{13}.$

b) Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A(1;0;-1)$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;-2;2)$

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ qua $B(2;3;1)$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(2;-4;-5)$

Gọi (P) là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và song song với ${{d}_{2}}$ ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(18;9;0)=9(2;1;0)$

Suy ra $(P):2x+y-2=0\Rightarrow d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=d({{d}_{2}};(P))=d(B;(P))=\sqrt{5}$

Cách 2: Ta có: $d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]}=\frac{\left| 9(2;1;0).(1;3;2) \right|}{9\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

Bài tập 13: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng $(d):\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{1}$ và điểm $M(-3;1;2).$ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

A. $\sqrt{14}.$ B. $\sqrt{6}.$ C. $2\sqrt{5}.$ D. $2\sqrt{7}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Ta có: $A(1;-1;2)\in d\Rightarrow \overrightarrow{AM}=(-4;2;0);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;1;1)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=(2;4;-8)$

Do đó $d(M;d)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{4+16+64}}{\sqrt{6}}=\sqrt{14}.$

Bài tập 14: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$ . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$

A. $\sqrt{26}.$ B. $\frac{\sqrt{13}}{13}.$ C. $\frac{\sqrt{26}}{13}.$ D. $2\sqrt{2}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A(1;2;3)$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;2;3)$

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ qua $B(1;0;1)$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-1;1;1)$

Gọi (P) là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và song song với ${{d}_{2}}$ ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(-1;-4;3)=-(1;4;-3)$

Suy ra $(P):x+4y-3z=0\Rightarrow d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=d\left( {{d}_{2}}(P) \right)=d(B;(P))=\frac{\left| -2 \right|}{\sqrt{1+16+9}}=\frac{2}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}}{13}.$

Cách 2: Ta có: $d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]}=\frac{\left| (-1;-4;3).(0;-2;-2) \right|}{\sqrt{1+16+9}}=\frac{\left| 2 \right|}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}}{13}.$

Bài tập 15: Cho mặt phẳng $(P):2x-y-2z=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{2}.$ Tọa độ điểm A thuộc Ox sao cho A cách đều d và (P) là

A. $A(-3;0;0).$ B. $A(3;0;0).$ C. $A(3;3;0).$ D. $A(3;0;3).$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Gọi $A(t;0;0)$ suy ra $d(A;(P))=\frac{2\left| t \right|}{3};d(A;d)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$ trong đó $M(1;0;-2)$

Suy ra $d(A;d)=\frac{\left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{16+{{(2t-4)}^{2}}+{{(2-2t)}^{2}}}}{3}=\frac{2\left| t \right|}{3}$

$\Leftrightarrow 36-24t+4{{t}^{2}}=0\Leftrightarrow t=3.$ ..