Giải các phương trình bất đẳng thức
|
Quảng cáo 1. Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng “a < b” hoặc “a > b” được gọi là bất đẳng thức. 2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương Nếu mệnh đề “a < b => c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a< b => c < d. Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b <=> c < d. 3. Tính chất của bất đẳng thức Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a < b ta chỉ cần chứng minh a – b < 0. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau 1. Bất đẳng thức Cô-si Định lí Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng √ab ≤  Đẳng thức √ab = 2. Các hệ quả Hệ quả 1 Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. a + Hệ quả 2 Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y. Hệ quả 3 Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y. Quảng cáo 1. Bất phương trình một ẩn Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) < g(x) (f(x) ≤ g(x)) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái của bất phương trình (1). Số thực xo sao cho f(xo) < g(xo), (f(xo) ≤ g(xo)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1). Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm. Chú ý: Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g(x) >f(x) (g(x) ≥ f(x)). 2. Điều kiện của một bất phương trình Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1). 3. Bất phương trình chứa tham số Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó. Quảng cáo Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng. Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm. 1. Bất phương trình tương đương Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “<=>” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó. Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu “<=>” để chỉ sự tương đương đó. 2. Phép biến đổi tương đương Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương. 3. Cộng (trừ) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. P(x) < Q(x) <=> P(x) – f(x) < Q(x) – f(x) 4. Nhân (chia) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. P(x) < Q(x) <=> P(x).f(x) < Q(x).f(x), f(x) > 0, ∀x P(x) < Q(x) <=> P(x).f(x) > Q(x).f(x), f(x) < 0, ∀x 5. Bình phương Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương. P(x) < Q(x) <=> P2(x) < Q2(x), P(x) ≥ 0, Q(x) ≥ 0, ∀x 1. Nhị thức bậc nhất Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f(x) = ax + b trong đó a, b là hai số đã cho, a ≠ 0. 2. Dấu của nhị thức bậc nhất Định lí Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng (-
Minh họa bằng đồ thị Giả sử f(x) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong f(x) ta suy ra được dấu của f(x). Trường hợp f(x) là một thương cũng được xét tương tự. Giải bất phương trình f(x) > 0 thực chất là xét xem biểu thức f(x) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x (do đó cũng biết f(x) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức f(x). Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng |f(x)| ≤ a và |f(x)| ≥ a với a > 0 đã cho. Ta có |f(x)| ≤ a <=> –a ≤ f(x) ≤ a |f(x)| ≥ a <=> f(X) ≤ –a hoặc f(x) ≥ a (a > 0) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by ≤ c (1) (ax + by < c; ax + by ≥ c; ax + by > c) trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số. Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó. Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình ax + by ≤ c như sau (tương tự cho bất phương trình ax + by ≥ c) Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng Δ: ax + by = c. Bước 2. Lấy một điểm Mo(xo; yo) không thuộc Δ (ta thường lấy gốc tọa độ ) Bước 3. Tính axo + byo và so sánh axo + byo với c. Bước 4. Kết luận Nếu axo + byo < c thì nửa mặt phẳng bờ Δ chứa M0 là miền nghiệm của axo + byo ≤ c Nếu axo + byo > c thì nửa mặt phẳng bờ Δ không chứa Mo là miền nghiệm của axo + byo ≤ c Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình axo + byo ≤ c bỏ đi đường thẳng ax + by = c là miền nghiệm của bất phương trình axo + byo < c Tương tự hệ bất phương trình một ẩn Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính. 1. Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0. 2. Dấu của tam thức bậc hai Người ta đã chứng minh được định lí về dấu tam thức bậc hai sau đây Định lý Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0), Δ = b2 – 4ac. Nếu Δ< 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ R. Nếu Δ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x = - Nếu Δ > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2 , trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2 (x1 < x2 ) là hai nghiệm của f(x). 1. Bất phương trình bậc hai Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2 + bx + c < 0 (hoặc ax2 + bx + c ≤ 0 , ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≥ 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a ≠ 0. 2. Giải bất phương trình bậc hai Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0). Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác: Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. bat-dang-thuc-bat-phuong-trinh.jsp |
