Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc với BC \[\left[ {E \in BC} \right]\] . Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh rằng:
a] BD là trung trực của AE.
b] AD < DC
c] Ba điểm E, D, F thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a] Xét ABD [\[\widehat {BAD} = 90^\circ\]] và BDE [\]\widehat {BED} = 90^\circ\]]
Ta có: BD [cạnh chung]
\[\widehat {ABD} = \widehat {DBE}\] [BD là tia phân giác của\[\widehat {ABC}\]]
Do đó: ABD = EBD [cạnh huyền góc nhọn]
=> BA = BE và DA = DE
=> BD là đường trung trực của AE.
b] Ta có: DE < DC [đường vuông góc ngắn hơn đường xiên]
AD = DE [ABD = EBD]
=> AD < DC.
c] Ta có BE = BA, AF = CE [gt] => BE + CE = BA + AF => BC = BF
Xét BEF và BAC có: BE = BA
\[\widehat {EBF}\] [chung]
BF = BC
Do đó BEF = BAC [c.g.c] \[ \Rightarrow \widehat {BEF} = \widehat {BAC} = 90^\circ\]
Ta có \[{\rm{EF}} \bot BC\] và\[DE \bot BC\] [gt] => EF, DE trùng nhau. Vậy E, D, F thẳng hàng.