Đề bài
Cho hình \[107\], trong đó \[ABCD\] là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác \[EFGH\] là hình vuông.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
+]Dấu hiệu nhận biết hình thoi: Tứ giác có \[4\] cạnh bằng nhau là hình thoi.
+] Dấu hiệu nhận biết hình vuông:Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
Lời giải chi tiết
Các tam giác vuông \[AEH, BFE, CGF, DHG\] có:
\[AE = BF = CG = DH\] [1] [giả thiết]
Theo giả thiết \[ABCD\] là hình vuông nên \[AB=BC=CD=DA\] [2] [tính chất hình vuông]
Mà: \[AH = AD - DH, BE = AB - AE, \]\[CF = BC - BF, DG = DC - CG \] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra \[AH = BE = CF = DG\]
Suy ra \[AEH = BFE = CGF \]\[= DHG\] [hai cạnh góc vuông]
Do đó
\[\widehat{EHA} = \widehat{FEB}\] [4] [hai góc tương ứng bằng nhau]
\[HE = EF = FG = GH\] [ các cạnh tương ứng]
\[\Rightarrow \] Tứ giác\[EFGH\] là hình thoi [dấu hiệu nhận biết hình thoi]
Xét tam giác \[AHE\] vuông tại \[A\] nên \[\widehat{HEA}\] + \[\widehat{EHA}=90^0\] [5]
Ta có:
\[\widehat{HEF} +\widehat{HEA}\]\[+ \widehat{FEB}= 180^0 \]
Kết hợp với [4] và [5], ta có:
\[\widehat{HEF} = 180^0- [\widehat{HEA}\] + \[\widehat{FEB}] \]
\[=180^0- [\widehat{HEA}\] + \[\widehat{EHA}]\]
\[= 180^0- 90^0= 90^0\]
\[\Rightarrow \] Hình thoi \[EFGH\] là hình vuông [dấu hiệu nhận biết hình vuông]