Công thức tính nhanh cực trị hàm trị tuyệt đối

Your browser isn’t supported anymore. Update it to get the best YouTube experience and our latest features. Learn more

Ta có: $y=\left| f\left[ x \right] \right|\Rightarrow y'=\frac{f'\left[ x \right].f\left[ x \right]}{\left| f\left[ x \right] \right|}$ do đó

Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f'\left[ x \right].f\left[ x \right]=0.$

Như vậy: Nếu gọi m là số điểm cực trị của hàm số $y=f\left[ x \right]$và n là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left[ x \right]$và trục hoành thì $m+n$ là số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ [chú ý ta cần bỏ đi các nghiệm bội chẵn].

Bài tập cực đại cực tiểu hàm trị tuyệt đối loại 1 – có đáp án

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Đồ thị hàm số $y=f\left[ x \right]$ cắt trục hoành $y=0$ tại 1 điểm nên $m=1.$

Hàm số $y=f\left[ x \right]$ có 2 điểm cực trị nên $n=2\Rightarrow $ Hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ có 3 điểm cực trị. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=f\left[ x \right]$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$

Phương trình $f\left[ x \right]=0$ có 3 nghiệm [tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép] suy ra $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ có $m+n=5$ điểm cực trị. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=f\left[ x \right]$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$

Đồ thị hàm số $y=f\left[ x \right]$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt [tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép] nên $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ có 5 điểm cực trị. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Đặt $g\left[ x \right]=f\left[ x \right]+2\Rightarrow g'\left[ x \right]=f'\left[ x \right]$

Phương trình $g'\left[ x \right]=f'\left[ x \right]=0$ có 3 nghiệm phân biệt nên $m=3.$

Phương trình $g\left[ x \right]=0\Leftrightarrow f\left[ x \right]=-2$ có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left[ x \right]+2 \right|$có 5 điểm cực trị. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=f\left[ x \right]$ thì $y'=\frac{f'\left[ x \right]f\left[ x \right]}{\left| f\left[ x \right] \right|}$

Xét $f\left[ x \right]={{\left[ x-1 \right]}^{3}}\left[ x-3 \right]\left[ x+2 \right]$

Ta có: $f\left[ x \right]=0$ có 3 nghiệm bội lẻ $x=1,x=3,x=-2.$

Lại có: $f\left[ x \right]={{\left[ x-1 \right]}^{3}}\left[ {{x}^{2}}-x-6 \right]\Rightarrow f'\left[ x \right]=3{{\left[ x-1 \right]}^{2}}\left[ {{x}^{2}}-x-6 \right]+{{\left[ x-1 \right]}^{3}}\left[ 2x-1 \right]$

$={{\left[ x-1 \right]}^{2}}\left[ 3{{x}^{2}}-3x-18+\left[ x-1 \right]\left[ 2x-1 \right] \right]={{\left[ x-1 \right]}^{2}}\left[ 5{{x}^{2}}-6x-17 \right]=0\Rightarrow f'\left[ x \right]=0$ có 2 nghiệm bội lẻ. Do đó hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Chọn B.

Lời giải chi tiết

$f\left[ x \right]=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ x+2 \right]-x\left[ x+2 \right]=0\Leftrightarrow x\left[ {{x}^{2}}-1 \right]\left[ x+2 \right]=0$có 4 nghiệm bội lẻ.

Phương trình $f'\left[ x \right]=4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-2x-2=0\Leftrightarrow 2\left[ 2{{x}^{2}}-1 \right]\left[ x+1 \right]=0$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Do đó hàm số đã cho có $4+3=7$ điểm cực trị. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Xét $f\left[ x \right]={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m$

Phương trình $f'\left[ x \right]=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0  \\   x=1  \\   x=2  \\\end{matrix} \right.$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình

$f\left[ x \right]=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=-m[*]$ phải có 4 nghiệm phân biệt.

Lập BBT cho hàm số $g\left[ x \right]={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4x$ ta được:

Phương trình [*] có 4 nghiệm phân biệt khi $0-20$ để hàm số$y=f\left[ \left| x \right|+m \right]$ có 5 điểm cực trị

A. 15.

B. 19.

C. 16.

D. 18.

Lời giải

Ta có: $y'=\left[ \left| x \right|+m \right]'.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0  \\\end{matrix} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left[ x \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-3  \\   x=-1  \\\end{matrix} \right.$

Do đó $f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+m=-3  \\   \left| x \right|+m=-1  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|=-3-m  \\   \left| x \right|=-1-m  \\\end{matrix} \right.$[*]

Hàm số có 5 điểm cực trị khi [*] có 4 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   -3-m>0  \\   -1-m>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m-20  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $  có 18 giá trị nguyên của m. Chọn D.

Lời giải

Ta có: $y'=\left[ \left| x \right|+m \right]'.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0  \\\end{matrix} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left[ x \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-2  \\   \begin{array}  {} x=-2 \\  {} x=5\text{  } \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.$

Do đó $f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+m=-2  \\   \begin{array}  {} \left| x \right|+m=2\text{  } \\  {} \left| x \right|+m=5 \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|=-2-m  \\   \begin{array}  {} \left| x \right|=2-m\text{  } \\  {} \left| x \right|=5-m \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.[*]$

Hàm số có 7 điểm cực trị khi [*] có 6 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   -2-m>0  \\   \begin{array}  {} 2-m>0\text{  } \\  {} 5-m>0 \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m0  \\   S=2\left[ m-1 \right]>0\text{         }  \\   P=2m>0\text{                 }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>2+\sqrt{3}.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{              }  \\   m\in \left[ -100;100 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $  có 97 giá trị nguyên của m. Chọn C.

Lời giải

Để hàm số $f\left[ \left| x \right| \right]$ có đúng 3 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left[ x \right]$phải có đúng 1 điểm cực trị có hoành độ dương.

Ta có: $f'\left[ x \right]=6{{x}^{2}}-6\left[ m+1 \right]x+6\left[ {{m}^{2}}-9 \right]=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left[ m+1 \right]x+{{m}^{2}}-9=0\text{ }[*]$

Giả thiết bài toán thỏa mãn khi [*] có 2 nghiệm trái dấu hoặc [*] có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương. TH1: [*] có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9