1. Định nghĩa về số chính phương là gì?
Số chính phươnglà số bằng bình phương đúng của một số nguyên, với số nguyên bao gồm các số nguyên dương, nguyên âm và số 0. Số chính phương về bản chất là bình phương của một số tự nhiên nào đó. Hiểu đơn giản, số chính phương là một số tự nhiên có căn bậc 2 cũng là một số tự nhiên. Số chính phương về bản chất là bình phương của một số tự nhiên nào đó. Hiểu theo một cách khác thì số chính phương thể hiện diện tích của một hình vuông với chiều dài là cạnh số nguyên kia.
Với số nguyên bao gồm các số nguyên dương [1,2, 3,…], các số nguyên âm [-1, -2, -3,…] và số 0.
Ví dụ:
- 4 = 22
- 9 = 32
- 1.000.000 = 10002
2. Dấu hiệu nhận biết số chính phương
Từ định nghĩa về số chính phương thì bạn cũng cần nắm được dấu hiệu nhận biết số chính phương như sau:
- Số tận cùng [hàng đơn vị]: Số chính phương chỉ có thể tận cùng [hàng đơn vị] là 0, 1, 4, 5, 6, 9. Ngược lại thì các số tận cùng là 2, 3, 7, 8 không phải là số chính phương.
- Dựa vào các tính chất về số chính phương.
3. Tính chất củasố chính phương
- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
-Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
-Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 [[nin N]].
-Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 [[nin N]].
-Số chính phương tận có chữ số tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
-Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
-Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
-Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
-Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
-Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
-Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
-Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
4. Một số ví dụ về số chính phương
Các chuyên đề toán học ở trung học có rất nhiều bài tập về số chính phương. Dựa theo khái niệm và các đặc điểm đã được đề cập bên trên, ta có thể lấy ví dụ về số chính phương như:
Cụ thể:
-9 là một số chính phương lẻ vì 9=32
-49 là một số chính phương lẻ vì 49=72
-16 là một số chính phương chẵn vì 16=42
III. Một số dạng bài tập về số chính phương
Dạng 1: Dạng nhận biết
Để giải quyết những dạng bài tập này, chúng ta cần phải nắm chắc khái niệm số chính phương là gì cùng các tính chất đặc trưng của loại số này.
VD: Cho dãy số sau, số nào là số chính phương 9, 81, 790, 400, 121, 380, 2500, 441, 560.
Trả lời: Trong dãy số trên các số là số chính phương là: 9 = 3²; 81 = 9²; 121 = 11²; 2500 = 25²; 400 = 20²; 441 = 21²
Dạng số 2: Chứng minh một số là số chính phương hoặc không là số chính phương
Riêng đối với dạng bài tập chứng minh số chính phương thì các em học sinh không chỉ nắm vững kiến thức về số chính phương mà cần có tư duy logic và nhanh nhạy khi làm.
Ví dụ 1: Hãy chứng minh số 1237562890 không phải là một số chính phương.
Lời giải:
Ta nhận thấy, số 1237562890 có tận cùng là số 0 nên chia hết cho 5, nhưng chúng lại không chia hết cho 25.
Theo tính chất của số chính phương => 1237562890 không phải là số chính phương
Ví dụ 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 số luôn là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử, 4 số tự nhiên liên tiếp có dạng là: n, n+1, n+2, n+3 với n € số tự nhiên.
Khi đó, theo bài ra ta có:
A = n[n+1][n+2][n+3] + 1
= n[n+3][n+1][n+2] + 1
= [n²+3n][n² + 3n + 2] + 1
Khi đó đặt x = n²+3n với x € số tự nhiên. Khi đó:
A = x [ x +2] + 1 = x² + 2x + 1 = [x+1]² = [n² + 3n + 1]²
Vì n € số tự nhiên nên n² + 3n + 1 cũng thuộc số tự nhiên.
Vì thế A = n[n+1][n+2][n+3] + 1 là một số chính phương.
Dạng 3: Tìm giá trị của biến sao cho biểu thức đó là số chính phương.
Đây là dạng bài tập vô cùng phức tạp và cần vận dụng nhiều kỹ năng toán học như khả năng tư duy logic, kiến thức cơ bản của số chính phương. Do đó, để hiểu rõ hơn về dạng bài tập này thì các bạn có thể tham khảo ví dụ sau:
VD: Tìm số tự nhiên x sao cho những số dưới đây là số chính phương: A = x²+ 2x + 12
Lời giải:
Số chính phương là gì
Câu hỏi: Số chính phương là gì?
Lời giải:
Số chính phương là số tự nhiên có căn bậc hai là một số tự nhiên, hay nói cách khác, số chính phương bằng bình phương [lũy thừa bậc 2] của một số tự nhiên.
- Số chính phương biểu thị diện tích của một hình vuông có chiều dài cạnh bằng số tự nhiên.
Ví dụ: 9 [32], 16 [42], 36 [62] là số chính phương.
- Số chính phương chẵn: một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu như nó là bình phương của một số chẵn.
Ví dụ: 4, 16, 36... là số chính phương chẵn.
- Số chính phương lẻ: một số chính phương được gọi là số chính phương lẻ nếu như nó là bình phương của một số lẻ.
Ví dụ: 9, 49, 81... là số chính phương lẻ.
Cùng Top lời giải tìm hiểu chi tiết hơn cho câu hỏi Số chính phương là gì? nhé:
1. Đặc điểm của số chính phương
- Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, mà không bao giờ tận cùng là 2, 3, 7, 8,...
- Số chính phương chia cho 3 không bao giờ có số dư là 2; chia cho 4 không bao giờ dư 2 hoặc 3; số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.
Ví dụ: 81:8 = 10 dư 1.
- Công thức để tính hiệu của hai số chính phương: a2 - b2 = [a+b][a-b].
Ví dụ: 62 – 32 = [6+3][6-3] = 9.3 = 27.
- Số ước nguyên dương của số chính phương là một số lẻ.
- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2.
Ví dụ: số chính phương 36 [62] chia hết cho 2 => 36 chia hết cho 4 [22]
Số chính phương 144 [122] chia hết cho 3 [144:3=48] => 144 chia hết cho 9 [144:9=16]
- Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1 = 1, 4 = 1 + 3,
9 = 1 + 3 + 5,
16 = 1 + 3 + 5 + 7,
25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9, ...v.v
2. Tính chất của số chính phương
- Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9, nếu các số tận cùng là 2,3,7,8 thì không phải là số chính phương.
- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
- Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng: 4n hoặc 4n + 1, không có số chính phương nào có dang 4n + 2 hoặc 4n + 3 [với n € N].
- Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng: 3n hoặc 3n + 1, không có số chính phương nào có dang 3n + 2 [với n € N].
- Số chính phương có chữ số tận cùng là 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
- Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
- Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
- Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
- Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
- Số chính phương chia cho 3 không bao giờ có số dư là 2; chia cho 4 không bao giờ dư 2 hoặc 3; số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.
3. Các dạng bài tập về số chính phương
Chứng minh một số không phải là số chính phương
Ví dụ 1: Chứng minh số: [n = 2004^{2} + 2003^{2}+ 2002^{2} – 2001^{2}] không phải là số chính phương.
Lời giải:
Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của các số [2004^{2}]; [2003^{2}]; [2002^{2}]; [2001^{2}] lần lượt là 6; 9; 4; 1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương.
Ví dụ 2: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương.
Lời giải:
Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 [vì chữ số tận cùng là 0] nhưng không chia hết cho 25 [vì hai chữ số tận cùng là 90]. Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương.
Chứng minh một số là số chính phương
Ví dụ:
Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n thì [a_{n} = n[n + 1][n + 2][n + 3] + 1] là số chính phương.
Lời giải:
Ta có:
[a_{n} = n[n + 1][n + 2][n + 3] + 1] = [[n^{2} + 3n] [n^{2} + 3n + 2] + 1] = [[n^{^{2}} + 3n]^{2} + 2[n^{2} + 3n] + 1] = [[n^{2} + 3n + 1]^{2}]
Với n là số tự nhiên thì [[n^{2} + 3n + 1]] cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, [a_{n}] là số chính phương.