a] Gọi M là trung điểm cạnh CA thì \[M\left[\frac{3}{2};1\right]\] và \[\overrightarrow{BM}=\left[\frac{9}{2};-3\right]\].
Đường trung tuyến BM của tam giác có vec tơ chỉ phương \[\overrightarrow{u}=\frac{2}{3}.\overrightarrow{BM}=\left[3;-2\right]\] suy ra ta có phương trình
\[\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{-2}\]
b] Do đường cao kẻ từ A có phương vuông góc với đường thẳng BC nên nó nhận \[\overrightarrow{BC}=\left[5;-4\right]\] làm vec tơ pháp tuyến. Suy ra có phương trình.
\[5.\left[x-1\right]-4\left[y-2\right]=0\] hay \[5x-4y+3=0\]
c] Ta có \[\overrightarrow{AB}=\left[-4;2\right]=2.\left[-2;1\right]\]. Gọi N là trung điểm AC thì N[-1;3]
Đường trung trực của cạnh AB đi qua N[-1;3] và có vec tơ pháp tuyến
\[\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}.\overrightarrow{AB}=\left[-2;1\right]\]
Suy ra có phương trình
\[-2.\left[x+1\right]+1.\left[y-3\right]=0\] hay \[-2x+y-5=0\]
05/08/2021 1,503
C. x + 7y – 2 = 0.
Đáp án chính xác
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho tam giác ABC có A−2;3,B1;−2;C−5;4. Đường trung tuyến AM có phương trình tham số:
Xem đáp án » 05/08/2021 6,840
Cho hai điểm A [1; −4], B [3; 2]. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Xem đáp án » 05/08/2021 4,127
Cho 4 điểm A [−3; 1], B [−9; −3], C [−6; 0], D [−2; 4]. Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD.
Xem đáp án » 05/08/2021 3,680
Cho hai điểm A [−2; 3]; B [4; −1]. Viết phương trình trung trực đoạn AB.
Xem đáp án » 05/08/2021 3,356
Cho tam giác ABC có A [−1; −2]; B [0; 2]; C [−2; 1]. Đường trung tuyến BM có phương trình là:
Xem đáp án » 05/08/2021 2,976
Cho tam giác ABC có A [1; 2], B [2; 3], C [−3; −4]. Diện tích tam giác ABC bằng:
Xem đáp án » 06/08/2021 2,712
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình chiếu vuông góc của điểm A2;1 lên đường thẳng d: 2x + y – 7 = 0 có tọa độ là:
Xem đáp án » 05/08/2021 2,543
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm A0;−5,B3;0
Xem đáp án » 05/08/2021 2,117
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A [3; −4], B [1; 5] và C [3; 1]. Tính diện tích tam giác ABC.
Xem đáp án » 06/08/2021 2,082
Cho hai điểm A−1;2,B3;1 và đường thẳng Δ:x=1+ty=2+t . Tọa độ điểm C thuộc Δ để tam giác ACB cân tại C
Xem đáp án » 05/08/2021 2,048
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M [4; 1], đường thẳng d qua M, d cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A [a; 0], B [0; b] sao cho tam giác ABO [O là gốc tọa độ] có diện tích nhỏ nhất. Giá trị a − 4b bằng
Xem đáp án » 06/08/2021 1,989
Cho ba điểm A [1; 1]; B [2; 0]; C [3; 4]. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách đều hai điểm B, C.
Xem đáp án » 05/08/2021 1,568
Cho đường thẳng đi qua hai điểm A [3, 0], B [0; 4]. Tìm tọa độ điểm M nằm trên Oy sao cho diện tích tam giác MAB bằng 6
Xem đáp án » 06/08/2021 1,492
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1: x − 7y + 17 = 0, d2: x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M [0; 1] tạo với d1, d2 một tam giác cân tại giao điểm của d1, d2.
Xem đáp án » 06/08/2021 1,402
Cho đường thẳng d1: 2x + y + 15 = 0 và d2: x − 2y – 3 = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?
Xem đáp án » 05/08/2021 1,370
MỘT SỐ BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNGTHẲNG VỚI CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁCĐẶT VẤN ĐỀI. Lý do chọn đề tàiBài toán về viết phương trình đường thẳng trong hình học phẳng là mộttrong những bài toán rất quan trọng, trong đó bài toán viết phương trình cácđường trong tam giác khi biết các yếu tố liên quan là bài toán cơ bản rất hay ratrong các sách nâng cao, đề thi chuyên đề, đề thi đại học, cao đẳng. Trong cácsách tham khảo hiện nay có một số bài toán đơn lẻ về các đường trong tam giácmà chưa hệ thống thành phương pháp chung để giải các dạng bài tập này. Chínhvì vậy bài viết này của tôi nhằm mục đích tổng hợp một số dạng toán liên quanđến hai đường trong tam giác, đưa ra phương pháp giải cho mỗi dạng toán cụ thểqua đó giúp thầy và trò hệ thống, củng cố kiến thức, có cái nhìn thấu đáo về tínhchất của các đường trong tam giác, vận dụng làm được các bài toán liên quanđến các đường trong tam giác. Từ đó trang bị kiến thức để làm được các bài tậpvề phương trình đường thẳng có liên quan đến các đường trong tam giác. Bàiviết giới thiệu một số bài toán viết phương trình các cạnh của tam giác khi biếtmột đỉnh và hai đường trong tam giác không chứa đỉnh đó.II. Mục đích nghiên cứuChia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kiến thức, kinh nghiệm để làmđược các bài tập về viết phương trình đường thẳng trong tam giác.Bản thân nhằm rèn luyện chuyên môn và nâng cao nghiệp vụ sư phạm.III. Phạm vi và đối tượng nghiên cứuĐề tài áp dụng cho tất cả giáo viên dạy toán ở phổ thông tham khảo và cácem học sinh lớp 10, lớp 12 ôn thi đại học.Phạm vi nghiên cứu bao gồm:Đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác trong tam giácIV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứuCác vấn đề sử dụng tính chất các đường cao, đường phân giác, đường trungtuyến trong tam giác để giải các bài toán về viết phương trình các đường trongtam giác, tìm điểm liên quan được tổng hợp một cách đầy đủ, tổng quát.PHẦN NỘI DUNGI. Cơ sở lý luậnMột trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặcbiệt là dạy hình học phẳng là hướng dẫn cho học sinh biết vận dụng các tính chấtcủa các đường trong tam giác, tính chất đường cao, đường trung tuyến, đườngphân giác, tính chất đối xứng mà học sinh đã được học từ cấp II, kiến thức vềphương trình đường thẳng học sinh học ở lớp 10 để giải các bài tập có liên quan.II. Cơ sở thực tiễnBài toán hình học phẳng là bài toán khó đối với học sinh, kể cả học sinhđang học lớp 10 hay học sinh ôn thi đại học lớp 12. Vì vậy việc hệ thống thànhcác dạng bài tập với phương pháp giải cho từng dạng là việc rất quan trọng,giảm bớt khó khăn, lúng túng cho học sinh khi giải các bài tập dạng này.III. Nội dung nghiên cứuPhần I. Một số dạng toánDạng 1: Cho tam giác ABC, biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường caokhông đi qua đỉnh đó. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.Phương pháp chung : Giả sử tam giác có 2 đường cao[ d1 ] : A1 x + B1 y + C1 = 0A[ d 2 ] : A2 x + B2 y + C2 = 0d1Điểm A [ x0 ; y0 ] ∉ [ d1 ] , [ d 2 ]d2BViết phương trình cạnh AC, ABurTa có [ d1 ] ⊥ AB ⇒ n1 [ A 1 ; B1 ] là 1 VTCP của ABCurx = x + At01Suy ra phương trình cạnh AB đi qua A với VTCP n1 [ A1 ; B1 ] là: y = y + B t01Tương tự ta viết được phương trình cạnh AC.Viết phương trình cạnh BC :Xác định tọa độ đỉnh B [là giao của AB và [ d 2 ] ], tọa độ đỉnh C [là giao của ACvà [ d1 ] ]uuurTừ đó viết phương trình cạnh BC đi qua B, nhận BC làm VTCP.Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có B [ −4; −5] và phương trình hai đường cao[ AH ] : 5 x + 3 y − 4 = 0, [ CK ] : 3x + 8 y + 13 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giácABC.Giải:- Lập phương trình cạnh BCurTa có BC ⊥ AH ⇒ n1 [ 5;3] là 1 VTCP của BC suy ra phương trình cạnh BC:3 x − 5 y − 13 = 0- Lập phương trình cạnh ABuurTa có AB ⊥ CK ⇒ n 2 [ 3;8 ] là 1 VTCP của AB suy ra phương trình cạnh AB:8 x − 3 y + 17 = 0 .- Lập phương trình cạnh AC:Ta đi xác định tọa độ A, C8 x − 3 y + 17 = 0 x = −1⇔⇒ A [ −1;3] 5x + 3 y − 4 = 0 y=3Ta có tọa độ A là nghiệm của hệ 3 x − 5 y − 13 = 0 x =1⇔⇒ C [ 1; −2 ]3 x + 8 y + 13 = 0 y = −2Tọa độ C là nghiệm của hệ Vậy phương trình cạnh AC là: 5 x + 2 y − 1 = 0 .Chú ý: Khi bài toán không cho tọa độ 1 đình mà cho pt 3 đường cao và yếutố bán kính đường tròn ngoại tiếp có thể giải quyết bài toán bằng cách sau:cùng với tính chất vuông góc của đường cao ta sử dụng tính chất đường Ơ-le:[HSG 10-2013 Vĩnh Phúc] Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cóphương trình các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C lần lượt là x − 2 y = 0 , x − 2 = 0 ,x + y − 3 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh, biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácABC bẳng 10 và đỉnh A có hoành độ âm.Phân tích: - Tìm trực tâm của tamgiác ABC- Tham số hóa tọa độ các điểmA, B, C.- Khai thác yếu tố vuông góc củađường cao, AH ⊥ BC và BH ⊥ AC- Khai thác tính chất đườnguuuruuurđường thẳng Ơ – Le, OH = 3OGvới O, G lần lượt là tâm đườngtròn ngoại tiếp và trọng tâm tamgiác ABC ⇒ Tọa độ của O.- Khai thác yếu tố OA = 10⇒ Tọa độ A, B, C.AEFHBGOCDHướng dẫn:Gọi H là trực tâm tam giác ABC thì tọa độ H là nghiệm của hệ phương trìnhx − 2 y = 0⇒ H [ 2;1]x − 2 = 0Vì A, B, C lần lượt thuộc 3 đường cao nên A [ 2a; a ] , B [ 2; b ] , C [ c;3 − c ]uuuruuuruuuruuurTừ đó: AH [ 2 − 2a;1 − a ] , BC [ c − 2;3 − b − c ] , BH [ 0;1 − b ] , AC [ c − 2a;3 − a − c ]uuur uuur AH .BC = 0[ 1 − a ] [ c − b − 1] = 0⇔Vì H là trực tâm tam giác ABC nên uuur uuur[ 1 − b ] [ 3 − a − c ] = 0 BH . AC = 0c − b − 1 = 0Vì A, B không trùng với H nên hệ tương đương với a + c − 3 = 02a + c + 2 a + b − c + 3 ;÷33uuuruuur 2a + c a + b − c + 2 ;Ta chứng minh được OG = 3OH nên O ÷.2 2Gọi G là trọng tâm tam giác ABC nên G 22 c − 2a 2 + b − c − a Theo giả thiết OA = 10 hay ÷ +÷ = 102 2 c=0c=4⇒a=3Từ đó ta tìm đượchoặc[loại] hoặc a = −1 ⇒ b = 32KL: A [ −2; − 1] , B [ 2;3] , C [ 4; − 1]Dạng 2: Cho tam giác ABC biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trungtuyến không đi qua đỉnh đó. Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.Phương pháp chung :ANMBCGiả sử tam giác có 2 trung tuyến:[ d1 ] : A1 x + B1 y + C1 = 0 qua B, [ d 2 ] : A2 x + B2 y + C2 = 0 qua C .Điểm A [ x0 ; y0 ] ∉ [ d1 ] , [ d 2 ] .Bước 1: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tham số hóa tọa độ củaM, N thep pt 2 đường trung tuyến.Bước 2: Do M là trung điểm AB suy ra tọa độ B theo M, mà B thuộc d 2 từ đósuy ra tọa độ B. Tương tự N là trung điểm AC suy ra tọa độ C theo N, mà Nthuộc d1 từ đó suy ra tọa độ C.Bước 3: Viết pt các cạnh AB, AC, BC.Ví dụ2: Cho tam giác ABC có A[1; 3], hai đường trung tuyến có phương trình:[ d1 ] : x − 2 y + 1 = 0 , [ d 2 ] : y − 1 = 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.Giải:Ta thấy A ∉ [ d1 ] , [ d 2 ] . Giả sử [ d1 ] xuất phát từ B, [ d 2 ] xuất phát từ C.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC, ta có M[a ; 1], N[2b-1; b]Do M là trung điểm AB nên ta suy ra B[2a-1 ; -1] mà B thuộc d1 suy ra2a-1 – 2[-1] +1 = 0 hay a=-1, khi đó B[-3 ; -1].Mặt khác ta có N là trung điểm AC suy ra C[4b-3; 2b-3] mà C thuộc d 2 nênsuy ra: 2b – 3- 1 = 0 hay b=2, khi đó C[5; 1].Phương trình cạnh AB là: x-y+2=0Phương trình cạnh AC là: x+2y-7=0Phương trình cạnh BC là: x-4y-1=0.Dạng 3: Cho tam giác ABC biết tọa độ đỉnh A [ x0 ; y0 ] và phương trình haiđường phân giác [ BD ] : A1 x + B1 y + C1 = 0 , [ CE ] : A2 x + B2 y + C2 = 0 . Viết phương trìnhcác cạnh của tam giác ABC.Phương pháp chung:- Lập phương trình cạnh BC:+ Gọi H, K lần lượt là điểm đối xứngcủa A qua BD, CE. I là giao của CE vàAH, J là giao của BD vàAAK. TaEchứng minh H , K ∈ BC :JDICBKH··+ Ta có HCI[Tính chất đối xứng]= CIA····Mà BCI[Tính chất phân giác] Suy ra HCI= CIA= BCI⇒ H ∈ BC .Tương tự K ∈ BC .Theo bài toán tìm điểm đối xứng qua đường thẳng suy ra tọa độ H, K từ đósuy ra pt cạnh BC đi qua H, K.- Xác định tọa độ B là giao của BC và BD, C là giao của BC và CETừ đó suy ra phương trình các cạnh AB, AC.Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A[2; -1], hai đường phân giác trong:BD: x − 2 y + 1 = 0 , CE: x + y + 3 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.Giải:- Lập pt cạnh BC:+ Gọi A1 , A2 lần lượt là điểm đối xứng của A qua CE, BD.+ Ta chứng minh A1 , A2 thuộc BC, thật vậy gọi { I } = AA1 ∩ CE , { J } = AA2 ∩ BD· A = BCI··· A mà IC⇒ BCI= ·A1CI ⇒ A1 ∈ BC .Ta có ·A1CI = IC1Tương tự ta chứng minh được A2 ∈ BC.Vậy phương trình cạnh BC là phương trình đường thẳng đi qua A1 , A2 . Ta đixác định tọa độ A1 , A2 :urTa có BD ⊥ AA2 ⇒ n1 [ 1; −2 ] là VTCP của AA2 , x = 2+t y = −1 − 2tPhương trình tham số của AA2 : x = 2+tTọa độ của J thỏa mãn hệ y = −1 − 2tx − 2 y +1 = 0[ t ∈¡ ]x = 1⇔ y = 1 ⇒ J [ 1;1] ,t =1Do J là trung điểm của AA2 nên ta có A2 [ 0;3] .Tương tự trên ta xác định được tọa độ I [ 0; −3] ⇒ A1 [ −2; −5] .Vậy phương trình cạnh BC qua A1 , A2 : 4x-y+3=0.- Lập phương trình cạnh AB, AC :5 x = − 74 x − y + 3 = 0 5 1⇔⇒ B− ; ÷+ Ta có tọa độ B là nghiệm của hệ: 7 7 x − 2 y +1 = 0 y=17Suy ra phương trình cạnh AB: 8 x + 19 y + 3 = 0 .6x=−4 x − y + 3 = 0 6 95⇔⇒ C − ;− ÷+ Ta có tọa độ C là nghiệm của hệ : 5 5 x+ y+3= 0y = − 95Suy ra phương trình cạnh AC: x − 4 y − 6 = 0 .Dạng 4: Cho tam giác ABC, A [ x0 ; y0 ] , đường cao BH, đường trung tuyếnCM, [ BH ] : A1 x + B1 y + C1 = 0 , [ CM ] : A2 x + B2 y + C2 = 0 . Lập phương trình cáccạnh của tam giác ABC.Phương pháp chung:A- Lập phương trình cạnh AC:MurTa có n1 [ A1 ; B1 ] là VTPT củaurBH mà BH ⊥ AC ⇒ n1 là VTCPHBcủa AC, từ đó suy ra phươngtrình cạnh AC.- Lập phương trình cạnh BC, AB:+ Gọi M là trung điểm AB, tham số hóa tọa độ M theo pt [CM],C+ Có M là trung điểm AB ta suy ra tọa độ điểm B theo M, lại có B thuộc[BH] suy ra tọa độ điểm B suy ra phương trình cạnh AB+ Xác định tọa độ C: pt [CM ]⇒ C [ xC ; yC ] suy ra pt cạnh AC. pt [ AC ]Tọa độ C là nghiệm của hệ pt Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có C [ 3;5 ] , đường cao BH, trung tuyến AM cóphương trình: [ BH ] : 5 x + 4 y − 1 = 0, [ AM ] : 8 x + y − 7 = 0 . Lập phương trình cáccạnh tam giác ABC.Giải:- Lập phương trình cạnh AC:urDo BH ⊥ AC ⇒ n1 [ 5; 4 ] là VTCP của AC suy ra phương trình AC: x = 3 + 5t,t ∈ ¡ y = 5 + 4tTa có M[m; 7 – 8m] thuộc AM.Mà M là trung điểm BC suy ra B[2m-3; 9-16m], B thuộc [BH] suy ra:5[2m-3]+4[9-16m]-1=0 ⇒ m=10/27 suy ra B − ; ÷ 27 27 61 83Suy ra phương trình cạnh BC: 52 x − 142 y + 554 = 0 .- Lập phương trình cạnh AB :1 x=2 x = 3 + 5t1 Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ y = 5 + 4t ⇔ y = 3 ⇒ A ;3 ÷2 8 x + y − 7 = 01t = −2Suy ra phương trình cạnh AB: 4 x + 149 y − 445 = 0 .Nhận xét : Với những kiến thức của dạng toán trên ta có thể giải đượcbài toán sau :[KA-2010] Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A [ 6;6 ] , đườngthẳng qua trung điểm 2 cạnh AB, AC có phương trình d : x + y − 4 = 0 . Tìm tọa độcác đỉnh B, C, biết điểm E [ 1; − 3] thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C.Phân tích:- Đường thẳng d song song vớicạnh đáy BC.- Đường thẳng d vuông góc và cắtđường cao AH tại trung điểm củanó nên ta viết được phương trìnhAH, tìm được tọa độ I và H, viếtđược phương trình BC.- Do H là trung điểm BC nên chỉcần tham số hóa B thì có đượctọa độ C. Từ đó khai thác tínhchất điểm E [ 1; − 3] nằm trênđường cao ta tìm được tham số vàkết luận.AEdIBCHHướng dẫn:Gọi H là chân đường cao của tam giác kẻ từ A. ⇒ AH ⊥ d : x + y − 4 = 0Suy ra phương trình đường cao AH : x − y = 0 . Gọi I = AH ∩ d ⇒ I [ 2; 2 ] . Dotam giác ABC cân nên I chính là trung điểm của AH ⇒ H [ −2; −2 ] .BC qua H và song song với d ⇒ phương trình BC : x + y + 4 = 0 .B ∈ BC ⇒ B [ b; − b − 4 ] , tam giác ABC cân nên H là trung điểm của BC, suy rauuur AB = [ 6 − b;10 + b ]C [ −b − 4; b ] ⇒ uuurCE = [ 5 + b; − 3 − b ]uuur uuurDo E thuộc đường cao kẻ từ C ⇒ AB.CE = 0 ⇔ [ 6 − b ] [ 5 + b ] + [ 10 + b ] [ −3 − b ] = 0b = 0 ⇒ B [ 0; −4 ] ; C [ −4;0 ]⇔b = −6 ⇒ B [ −6; 2 ] ; C [ 2; −6 ]Kl: Vậy B [ 0; −4 ] ; C [ −4;0 ] hoặc B [ −6; 2 ] ; C [ 2; −6 ] .Dạng 5: Cho tam giác ABC có A [ x0 ; y0 ] , đường cao [ BH ] : A1 x + B1 y + C1 = 0 ,đường phân giác [ CD ] : A2 x + B2 y + C2 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tamgiác ABC.Phương pháp chung:A- Lập phương trình cạnh AC:urBH mà BH ⊥ AC ⇒ n1 là VTCPcủa AC, từ đó suy ra phương trình cạnh AC.HDurTa có n1 [ A1 ; B1 ] là VTPT củaIBECLập pt cạnh BC:Gọi E là điểm đối xứng của A qua CD, ta chứng minh E ∈ CD .·· A [tính chất đối xứng]Ta có ECI= IC···Mà ·ACI = ICB[tính chất phân giác] suy ra ECI= ICB⇒ E ∈ BC .Gọi I là giao điểm của AE và CD+ Viết phương trình đường thẳng AA ' đi qua A và vuông góc với CD, ta cóuur x = x0 + A2tn2 [ A2 ; B2 ] là VTCP của AE suy ra pt AE : [ t ∈¡ y = y0 + B2t][ AE ]+ Tọa độ I thỏa mãn hệ phương trình: CD ⇒ I [ a; b ]][ x + x ' = 2xxAIDo I là trung điểm AA ' nên ta có: y + yA = 2 y ⇒ yAI AA A'''[ AC ]+ Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình CD ⇒ C][Suy ra phương trình cạnh BC đi qua C và E.- Lập phương trình cạnh AB: [ BC ]Tọa độ B là nghiệm của hệ BH ⇒ B][Suy ra phương trình cạnh AB đi qua A, B.Ví dụ5: Cho tam giác ABC có A [ 2; 2 ] , đường cao [ BH ] : 9 x − 3 y − 4 = 0 ,phân giác [ CD ] : x + y − 2 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.Giải:- Lập phương trình cạnh AC:urTa có BH ⊥ AC ⇒ n1 [ 9; −3] là VTCP của AC suy ra phương trình AC: x = 2 + 9t[ t∈¡ ] . y = 2 − 3t- Lập phương trình cạnh BC :· A [tính chất đối+ Gọi A' là điểm đối xứng của A qua CD, ta có: ·A'CI = ICxứng]··mà ·ACI = ICB[tính chất phân giác] suy ra ·A'CI = ICB⇒ A' ∈ BC .+ Lập phương trình đường AA ' đi qua A và vuông góc với CD:uurDo AA ' vuông góc với CD nên có n2 [ 1;1] là VTCP của AA 'x = 2 + t[ t ∈¡ ] .suy ra phương trình của AA ' : y = 2+t+ Gọi I là giao điểm của AA ' và CD suy ra tọa độ I thỏa mãn hệ : x = 2+t x =1 y = 2 + t ⇔ y = 1 ⇒ I [ 1;1]x + y − 2 = 0t = −1 x + x ' = 2xx ' = 0AI'AA+ Do I là trung điểm của AA ' nên ta có: y + y = 2 y ⇔ y = 0 ⇒ A [ 0;0 ]I AA A'' x = −1 x = 2 + 9t+ Tọa độ C thỏa mãn hệ y = 2 − 3t ⇔ y = 3 ⇒ C [ −1;3 ] .x + y − 2 = 01t = −3Phương trình cạnh BC [đi qua C và A' ]: 3x + y = 0 .- Lập phương trình cạnh AB:2x= 3x + y = 02 29⇔⇒ B ;− ÷+ Tọa độ B là nghiệm của hệ 9 39 x − 3 y − 4 = 0y = − 23Suy ra phương trình cạnh AB: 3x − 2 y − 2 = 0.Nhận xét: Với kiến thức trên ta có thể giải quyết được bài toán sau:[Khối B-2008]. Trong mặt phẳng Oxy, xác định các đỉnh của tam giác ABCbiết hình chiếu vuông góc của đỉnh C lên AB là điểm H[-1; -1], đường phângiác trong của góc A có pt: x-y+2=0, đường cao kẻ từ B có pt: 4x+3y-1=0.Phân tích đề - Khai thác tính đối xứng của đường phân giác tìm tọa độ điểmK đối xứng với H qua đường phân giác.-Khai thác tính chất vuông góc của đường cao viết phương trìnhAC, suy ra tọa độ A và phương trình HC ⇒ tọa độ C = HC ∩ AC .Hướng dẫn:Gọi K là điểm đối xứng với H quaphân giác góc A ⇒ HK : x + y + 2 = 0Gọi M là giao của HK và phân giácgóc A ⇒ M [−2;0] ⇒ K [−3;1] .Đường AC qua K và vuông góc vớiđường cao kẻ từ B, suy ra:AKHAC : 3x − 4 y + 13 = 0 ⇒ A[5;7]Suy ra HC : 3x + 4 y + 7 = 0 ⇒ C [−10 3; ]3 4CBPDạng 6: Cho tam giác ABC có A [ x0 ; y0 ] , đường trung tuyến BM có phươngtrình: A1 x + B1 y + C1 = 0 ,đường phân giác [ CD ] : A2 x + B2 y + C2 = 0 . Lập phương trìnhcác cạnh của tam giác ABC.ADMICBPhương pháp chung:E- Lập phương trình cạnh AC:Ta có M ∈ BM ⇒ A1 xM + B1 yM + C1 = 0Có C ∈ CD ⇒ A2 xC + B2 yC + C 2 = 0[1][2] x + x = 2x x = 2x − xACMCM0Mà M là trung điểm AC ta có y + y = 2 y ⇒ y = 2 y − y [3]CMM0 A CThế [3] vào [2] ta có : A2 [ 2 xM − x0 ] + B2 [ 2 yM − y0 ] + C2 = 0 [4] xM = aGiải hệ [1], [4] ta được: y = b ⇒ M [ a; b ] MSuy ra phương trình cạnh AC [đi qua A và M]: A3 x + B3 y + C3 = 0- Lập phương trình cạnh BC:+ Gọi E là điểm đối xứng của A qua CD·· A [tính chất đối xứng]Ta có ECI= IC···mà ·ACI = ICB[tính chất phân giác] suy ra ECI= ICB⇒ E ∈ BC .+ Viết phương trình AE qua A và vuông góc với CD:uurx = x + A t02Do AE ⊥ CD ⇒ n2 [ A2 ; B2 ] là VTCP của AE suy ra pt AE y = y + B t [ t ∈ ¡ ] .02 x = x0 + A2tGọi I = AE ∩ CD , tọa độ I thỏa mãn hệ y = y0 + B2t ⇒ I [ xI ; yI ]A x + B y + C = 022 2 x + x ' = 2xAI'ADo I là trung điểm của AE nên ta có: y + y = 2 y ⇒ A [ m; n ] .I AA' A3 x + B3 y + C3 = 0⇒CTọa độ C là nghiệm của hệ A2 x + B2 y + C2 = 0Từ đó ta viết được phương trình cạnh BC [qua C và E].- Lập phương trình cạnh AB: pt [ BM ]+ Tọa độ B là nghiệm của hệ pt BC ⇒ B] [suy ra phương trình cạnh AB [đi qua A, B].Ví dụ 6:Cho tam giác ABC có B [ 1; 2 ] , phân giác [ AD ] : x − y − 3 = 0 , trung tuyến[ CM ] : x + 4 y + 9 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.Giải:- Lập phương trình cạnh ABTa có M ∈ MC ⇒ xM + 4 yM + 9 = 0 [1], có A ∈ AD ⇒ xA − y A − 3 = 0 [2]. x + x = 2x x = 2x −1ABMM⇒ ADo M là trung điểm của AB nên [3].y+y=2yy=2y ABM AM −2Thế [3] vào [2] ta được xM − yM − 1 = 0 [4].x + 4 y + 9 = 0 x = −1MM⇔ MTừ [1], [4] ta có: x−y−1=0 M M yM = −2 x = −3⇒ A⇒ A [ −3; −6 ] y A = −6Vậy phương trình cạnh AB là: 2 x − y = 0 .- Lập phương trình cạnh AC:·Gọi B ' là điểm đối xứng của B qua AD, ta có B· ' AI = IAB[tc đối xứng]···mà IAB[tc phân giác] suy ra B· ' AI = IAC= IAC⇒ B ' ∈ AC .Viết phương trình BB ' qua B và vuông góc với AD.r x = 1+ t[ t ∈¡ ] .Do AB ⊥ BB ' ⇒ n [ 1; −1] là VTCP của BB ' suy ra pt BB ' : y = 2−tGoi I là giao điểm của BB ' và AD suy ra tọa độ I thỏa mãn hệ: x = 1+ tx = 3 y = 2 − t ⇔ y = 0 ⇒ I [ 3;0 ]x − y − 3 = 0t = 2 x ' + x = 2x x ' = 2x −1 = 5BII'Mà I là trung điểm BB ' nên ta có: y B + y = 2 y ⇒ y B = 2 y − 2 = −2 ⇒ B [ 5; −2 ]BII B B''x − y − 3 = 0 x = −3⇔⇒ A [ −3; −6 ] 2x − y = 0 y = −6Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: Suy ra phương trình cạnh AC [đi qua A và B ' ]: x − 2 y − 9 = 0- Lập phương trình cạnh BC:x + 4 y + 9 = 0 x=3⇔⇒ C [ 3; −3] y = −3x − 2y − 9 = 0Tọa độ C là nghiệm của hệ Vậy phương trình cạnh BC là: 5 x + 2 y − 9 = 0 .Nhận xét: Với kiến thức trên ta có thể giải quyết được bài toán sau:[KD-2011] Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B [ −4;1] , trọngtâm G [ 1;1] , và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A là d : x − y − 1 = 0 .Tìm tọa độ các đỉnh A và C.uuuuruuurPhân tích: - Khai thác yếu tố trọng tâm và điểm B: 2GM = −GB → tọa độ M- Khai thác đường phân giác trong → tọa độ điểm B’ đối xứng vớiB qua phân giác d. Từ đó viết phương trình cạnh AC và suy ra tọa độ điểmA = AB ∩ d → tọa độ điểm C.Hướng dẫnAMGB'HCBDuuuuruuurGọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ 2GM = −GB ⇒7 M ;1÷2 Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua đường thẳng d → phương trình đường thẳngBB’: 1[ x + 4 ] + 1[ y − 1] = 0 ⇔ x + y + 3 = 0 .Gọi H là giao điểm của BB’ và d. Suy ra tọa độ của H là nghiệm củax − y −1 = 0 x = −1⇔⇒ H [ −1; −2 ] .x + y + 3 = 0 y = −2hpt: 'Suy ra B [ 2; −5 ] → phương trình cạnh AC : 4 x − y − 13 = 0 và tọa độ điểm A là x − y −1 = 0⇒ A[4;3] 4 x − y − 13 = 0nghiệm của hệ Vì M là trung điểm AC nên C[3; -1].Một số bài tập luyện tập1. Cho tam giác ABC có A [ 1; 4 ] và phương trình hai đường trung tuyến là:x − 7 y − 3 = 0;11x + 13 y − 3 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.2. Cho tam giác ABC có A [ 2; 2 ] và phương trình hai đường phân giác tronglà: x + y − 1 = 0;3x + y − 1 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.3. Cho tam giác ABC có A [ 5; −4 ] và phương trình hai đường cao là:3 x − y + = 0; x − 2 y + 2 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.4. Cho tam giác ABC cóB [ −4;1]và phương trình đường cao[ AH ] : 3x − y − 7 = 0 , phân giác [ AD ] : x − y + 1 = 0 . Lập phương trình các cạnhcủa tam giác ABC.5. Cho tam giác ABC có A [ 3;1] và phương trình phân giác [ BD ] : x + y − 2 = 0 ,trung tuyến [ CM ] : −4 x + y + 7 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giácABC.6. Cho tam giác ABC có A [ 4;6 ] và phương trình đường trung tuyến[ CK ] : 6 x − 13 y + 29 = 0 , đường cao [ BM ] : −3x + 19 y − 52 = 0 . Lập phươngtrình các cạnh của tam giác ABC.7. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường cao[ AH ] : 3x + 4 y + 10 = 0 , phân giác trong [ BE ] : x − y + 1 = 0 . Điểmthuộc đường thẳng AB và cách C một khoảng bằngM [ 0; 2 ]2 . Tính diện tíchtam giác ABC.8. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A [ 1; 2 ] , đường cao và đườngtrung tuyến đỉnh B lần lượt có phương trình: 2 x + y − 5 = 0 và y − 1 = 0 . Tínhbán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.9. Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biếtrằng hình chiếu vuông góc của C trên AB là điểm H [ −1; −1] , đường phângiác trong của góc A có phương trình x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B cóphương trình 4 x + 3 y − 1 = 0 . [Đề TSĐH KB-2008]16PHẦN KẾT LUẬNI. Kết quả nghiên cứuSong song với việc tiếp thu những kiến thức về toạ độ điểm, tọa độ vectơ,phương trình đường thẳng, qua việc sử dụng các phương pháp giải các bài toánliên quan đến các đường trong tam giác các em đã chủ động hơn, tự tin hơn khitiếp xúc với bài toán hình học phẳng.Thật vậy, trong các tiết ôn tập cuối năm 10, ôn thi chuẩn bị cho kì thi tuyểnsinh vào các trường Đại học và Cao đẳng hàng năm của học sinh lớp 12, các emđã được hướng dẫn giải một số bài tập liên quan đến việc sử dụng phương phápgiải các bài tập viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết hai đường vàmột đỉnh trong tam giác đó.Qua khảo sát, nhìn chung các em biết vận dụng khá linh hoạt, biết nhậnbiết vấn đề và xác định được tọa độ các điểm liên quan đến các cạnh. Kết quảkhảo sát qua 2 bài tập như sau:Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A [ 2; −7 ] trungtuyến BM: 3x + y + 11 = 0 , đường cao CH: x + 2 y + 7 = 0 . Viết phương trình cáccạnh của tam giác ABC.Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A [ 1; 2 ] và trung tuyếnBM: 2 x + y + 1 = 0 , phân giác trong của góc C có phương trình x + y − 1 = 0 . Viếtphương trình cạnh BC.Kết quả :Bài12Số HS làm bài4042Số HS đạt yêu cầu2930Đạt tỷ lệ %72,571,4Tuy kết quả chưa thật như mong đợi, nhưng tôi mong muốn học trò của mìnhsẽ bớt lúng túng, khó khăn và sợ khi gặp bài gặp bài toán hình học phẳng, đặc biệtlà các bài toán liên quan đến các đường trong tam giác.II. Kết luận17Khi dạy học sinh về phần đường thẳng và các bài toán liên quan đến cácđường trong tam giác, việc giúp học sinh nắm vững tính chất các đường trongtam giác, hệ thống các dạng bài tập có ý nghĩa rất lớn giúp các em giải quyết cácbài toán dạng này một cách dễ dàng hơn. Khi chưa được hệ thống các dạng bàitập liên quan đến các đường trong tam giác thì phần lớn học sinh có cảm giácsợ học hình học phẳng, chưa định hình được cách giải các bài toán có liên quan.Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy rằng có khá nhiều học sinh cònhổng các kiến thức về tính chất các đường trong tam giác ở cấp II, một số tínhtoán khá chậm và thiếu chính xác dẫn đến viêc tiếp thu kiến thức và vận dụnglàm các bài tập tương tự còn hạn chế.Cũng qua thực tế giảng dạy tôi thấy việc đưa vào giảng dạy các dạng toántrên một cách hệ thống đã giúp các em thấy yêu thích học hình hơn đặc biệt làcác bài toán hình học phẳng liên quan đến các đường trong tam giác. Giúp cácem tự tin hơn trong việc giải các bài tập hình học phẳng có liên quan.III. Đề nghịTôi kính đề nghị nhà trường xếp lớp học sinh tương đồng về năng lực họctập, tăng thêm thời lượng ôn tập để việc giảng dạy được thuận lợi và đạt hiệuquả cao hơn.IV. Tư liệu tham khảo181. Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Ngọc Bích, Phương pháp giải toánhình học, nhà xuất bản Đại Học Sư Phạm, 2004.2. Lê Quý Mậu, Phạm Hữu Hoài, Chuyên đề bồi dưỡng toán cấp 3 Hình giảitích phẳng, nhà xuất bản Đà Nẵng, 1998.Mục lục19TrangA. ĐẶT VẤN ĐỀ …………………………………………….….1I. Lý do chọn đề tài ……..…………………………………….1II. Mục đích nghiên cứu ………………………….………….1III. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu ………………………1IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu………………………1B. PHẦN NỘI DUNG ………………..…..………………………..2I. Cơ sở lý luận …………………………………………………2II. Cơ sở thực tiễn………….……………………………………2III. Nội dung nghiên cứu1. Dạng 1……………………………………………………22. Dạng 2……………………………….……………………43. Dạng 3……………………………………………………64. Dang 4…………………..…………………………………75. Dạng 5…………………………………………………………….96. Dạng 6…………………………………………………………….12C. PHẦN KẾT LUẬN ……………………………………………….I. Kết quả nghiên cứu…………………………………………….17II. Kết luận ………………………………………………………18III. Kiến nghị và Đề xuất ………………..………………………18IV. Tài liệu tham khảo ………………………………………...1920