Cách giải toán hình 9 chương đường tròn
|
Hình học lớp 9 là một chuyên đề giúp gỡ điểm cho phần lớp học sinh. Nếu như Đại số thường tính toán, kiểm tra đáp án nhiều lần và dễ nhầm lẫn, thì đa số bài Hình học chỉ yêu cầu các bạn 3 điều: Vẽ hình chính xác, viết đúng Giả thiết – Kết luận, vận dụng một số định lý, tính chất cũng như kiến thức Hình học cơ bản để làm bài. Gia Sư Việt xin giới thiệu phương pháp giải bài toán về Đường tròn môn Hình học lớp 9, các bạn cùng tham khảo nhé. Show
Mục lục 1. Nắm chắc mọi Định lý, Định nghĩa, Tính chấtĐể giải được bài toán đường tròn trong Hình học 9, các bạn cần hiểu bản chất của các lý thuyết liên quan: Hệ thức lượng trong tam giác vuông, đường tròn, góc, tứ giác nội tiếp… và một số kiến thức của lớp 6, 7, 8 như: Các Định lý, Tính chất, Hệ quả cùng điều kiện song song, so le; Định nghĩa hình bình hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật; Đều kiện để hai Tam giác bằng nhau, đồng dạng cũng như cách tính diện tích của chúng… Vì bài tập của Hình học 9 (thực tế) không chỉ liên quan tới đường tròn lóp 9, mà còn liên quan rất nhiều tới các kiến thức lớp 6, 7, 8. Các bạn đừng sợ khó, các bạn chỉ cần nhìn hình và áp dụng đúng định nghĩa là sẽ hiểu và sẽ giải được bài tập đường tròn thôi. Vì thực ra, đa số các câu a), b), c) thường sẽ chỉ yêu cầu kiến thức cơ bản để giải những câu như: Chứng minh 4 điểm cùng thuộc đường tròn, chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn… 2. Viết đúng giả thiết, kết luận, vẽ hình chính xácVẽ được hình và viết giả thiết, kết luận rõ ràng: Yêu cầu bắt buộc của Hình học lớp 9. Các bạn cần viết giả thiết và kết luận ngắn gọn, rõ ràng, khi làm được như vậy, thì coi như bạn cũng đã hiểu được mối quan hệ giữa đề bài và câu hỏi rồi. Hãy đọc đề kỹ, vẽ nửa đường tròn ra sao? Tiếp tuyến với tam giác vuông vẽ thế nào? Tam giác đều trong đường tròn thì phải vẽ như thế nào? Và nếu thế thì có những tính chất gì đi kèm?… Lưu ý, các giáo viên thích hình vẽ sạch và rõ ràng, đề nghị bạn vẽ hình cẩn thận (vẽ nửa trang giấy cũng được), tránh ký hiệu quá nhiều (dễ gây nhức mắt, khó nhìn, đặc biệt khi các bạn vẽ bằng bút chì), sang trang thì phải vẽ lại hình cho tiện theo dõi. 3. Sử dụng tất cả dữ kiện đề bài cho để làm bàiĐể giải bài toán Hình học lớp 9, các bạn cần nhớ sử dụng tất cả dữ kiện đề bài cho để trả lời câu hỏi. Thực tế, trong bài tập đường tròn, có rất nhiều cách giải, nhưng đâu là đường ngắn nhất, tối ưu nhất. Bạn cần tự đặt các câu hỏi như: Để giải quyết câu này, thì cần những dữ kiện nào? Đã có giả thiết gì rồi, cần chứng minh thêm gì? Làm thế nào? Liệu đáp án câu a) có thể sử dụng để trả lời câu b) không? Liệu có cần vẽ thêm không? (lưu ý, nên hạn chế vẽ thêm). Vậy còn những dạng toán như quỹ tích, chứng mình 3 điểm thẳng hàng, chứng mình 3 đường đồng quy thì bạn nên làm thế nào? Thông thường trong Hình học lớp 9, đây là những câu hỏi khó, thường được mọi người đưa về các trường hợp đặc biệt, chứng mình phản chứng hoặc suy từ kết luận về giả thiết. 4. Luyện tập thật nhiều để tư duy nhanh nhẹnKhông giống như Đại số, cần áp dụng công thức, tính toán, chứng mình rồi bấm máy để ra kết quả, Hình học lớp 9 không có máy tính cầm tay nào vẽ hình hay giải hộ bạn được. Chỉ thông qua làm nhiều bài tập, gặp nhiều dạng bài bạn sẽ nắm được cách giải, vận dụng sáng tạo kiến thức để giải bài tập. Đừng sử dụng sách giải, bởi môn Hình học chỉ thông qua tự suy nghĩ, tự giải bài tập được bạn mới thấy đam mê, thích thú để học tiếp, hãy chăm chỉ và kiên trì hơn nữa. Với Các dạng bài tập Toán 9 Chương 2 phần Hình học cực hay có đáp án Toán lớp 9 tổng hợp các dạng bài tập, bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Chương 2 phần Hình học từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9. Các dạng bài tập về Đường tròn
II. Lý thuyết & Trắc nghiệm theo bài học
Lý thuyết, cách giải bài tập về Đường trònI. Lý thuyết chung về Đường tròn1. Đường tròn tâm O, bán kính R, kí hiệu (O, R) là hình gồm các điểm cách điểm O cho trước một khoảng bằng R 2. Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn 3. Đường tròn là hình có tâm đối xứng và trục đối xứng - Tâm đối xứng là tâm của đường tròn - Trục đối xứng là bất kì đường kính nào 4. Trong các dây của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất. 5. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Đảo lại, trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. 6. Trong một đường tròn: - Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm - Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau 7. Trong hai dây của một đường tròn: - Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn - Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. II. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi E là trung điểm của BC và BD là đường cao của ΔABC (D ∈ AC). Gọi giao điểm của AE và BD là H.
Hướng dẫn:
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta có: Trong ΔDAB vuông tại D có DO là trung tuyến ⇒ OA = OB = OD Trong ΔDAB vuông tại D có DO là trung tuyến ⇒ OA = OB = OD Trong ΔABE vuông tại E có EO là trung tuyến ⇒ OA = OB = OE ⇒ OA = OB = OE = OD ⇒ Vậy A, B, E, D cũng thuộc đường tròn (O)
Trong ΔHDC vuông tại D có DI là trung tuyến ⇒ ID = IH = IC ⇒ I là tâm đường tròn đi qua 3 điểm H, D, C
⇒ IE = IH = IC ⇒ E thuộc đường tròn (I) Vậy (O) và (I) có hai điểm chung là E và D. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định, đường trung tuyến BM = 1,5 cm. Hỏi:
Hướng dẫn:
BG = 2/3; BM = 2/3.1,5 = 1 (cm) Điểm G cách điểm B cho trước một khoảng là 1 cm nên G nằm trên đường tròn (B; 1cm)
Ta có BM là đường trung bình của tam giác OAC nên OA = 2; BM = 3 cm Do đó, điểm A nằm trên đường tròn (O; 3cm) Nhận xét: Sẽ rất sai lầm nếu nói A nằm trên đường tròn tâm B, bán kính BA. Sai lầm ở chỗ đọ dài BA luôn thay đổi. Ví dụ 3: Cho điểm M nằm trong đường tròn tâm O, M không trùng với O. Chứng minh rằng trong tất cả các dây đi qua M thì dây vuông góc với OM là dây ngắn nhất. Hướng dẫn: Gọi dây AB là dây đi qua M và OM vuông góc với AB; dây CD là dây đi qua M nhưng không vuông góc với OM. Ta phải chứng minh AB < CD Vẽ OH ⊥ CD. Ta có: OH < OM (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên) ⇒ CD > AB ( dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn) Vậy AB < CD Vị trí tương đối của đường thẳng và đường trònLý thuyết và Phương pháp giải1. Bảng tóm tắt Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R Đường thẳng và đường tròn cắt nhau Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 2 1 0 d < R d = R d > R Trong đó, d là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng. 2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. 3. Tính chất của tiếp tuyến Nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. 4. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. - Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. 5. Đường tròn nội tiếp tam giác - Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn. - Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác các góc trong của tam giác. 6. Đường tròn bàng tiếp tam giác - Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác. - Tâm đường tròn bàng tiếp góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax, By vuông góc với AB ở trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi O là trung điểm của AB. Xét góc vuông mOn quay quanh O sao cho Om cắt Ax tại C, On cắt By tại D. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
ΔBOD = ΔAOE (g.c.g) ⇒ OD = OE Mà CO ⊥ DE (gt) ⇒ ΔCDE cân tại C Kẻ OM ⊥ CD ta lại có: ΔAOC = ΔMOC (cạnh huyền-góc nhọn) ⇒ OA = OM Điều này chứng tỏ M thuộc đường tròn (O) nên CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) hay CD tiếp xúc với nửa đường tròn (O; AB/2)
AC = CM; DB = DM ⇒ AC. DB = CM. DM Xét tam giác COD vuông tại O có OM là đường cao nên: CM.DM = OM2 = AB2/4 Vậy AC.DB = AB2/4 Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy AO làm đường kính vẽ nửa đường tròn tâm O’ cùng phía với (O). Một cát tuyến bất kì qua A cắt (O’) và (O) lần lượt tại C và D.
Hướng dẫn:
⇒ CO // BD Mà OA = OB nên OC là đường trung bình của ΔABD ⇒ C là trung điểm của AD Xét ΔAOD có O’C là đường trung bình ⇒ O’C // OD ⇒ Các tiếp tuyến tại C và D của (O’) và (O) phải song song với nhau ( vì cùng vuông góc với hai đường thẳng song song)
⇒ C thuộc nửa đường tròn đường kính O’B Vậy C là giao điểm của nửa đường tròn (O’) và nửa đường tròn đường kính O’B Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi (O1; R1 ) là đường tròn nội tiếp ΔABC và (O2; R2 ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh: Hướng dẫn:
Dễ thấy tứ giác AMO1N là hình vuông ⇒ AM = AN = R1 BM và BP là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O1; R1 ) nên theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có BM = BP Tương tự, CN và CP là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O1; R1 ) nên CN = CP Ta có: AB + AC = AM + BM + AN + NC AB + AC = 2R1 + BP + CP AB + AC = 2R1 + BC = 2R1+ 2R_2
Ví dụ 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB; AC là một dây cung của nó. Kẻ tiếp tuyến Ax và kẻ đường phân giác của góc Cax cắt đường tròn tại E và cắt BC kéo dài tại D.
Hướng dẫn:
Ta có: Mà ⇒ ΔADB cân tại B. Chứng minh OE // DB Vì E ∈ (O) nên góc AEB bằng 900 hay BE ⊥ AD Do ΔADB cân tại B nên BE vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến ⇒ E là trung điểm của AD Lại có O là trung điểm của AB Nên OE là đường trung bình của ΔADB ⇒ OE // BD
BE ⊥ AD AC ⊥ BD AC cắt BE tại I ⇒ I là trực tâm của ΔADB ⇒ DI ⊥ AB
Giới hạn: Khi C di chuyển tới B thì D di chuyển tới D1 (BD1 = 2R), D1 ∈ By,By ⊥ AB. Vậy D di chuyển trên cung một phần tư đường tròn ADD1 Ví dụ 5: Chứng minh rằng diện tích của một tam giác bằng nửa chu vi của nó nhân với bán kính đường tròn nội tiếp . |
