- Bài 1.1
- Bài 1.2
- Bài 1.3
- Bài 1.4
Bài 1.1
Tam giác \[ABC\] có \[\widehat A = {40^o}\]. Các tia phân giác của các góc \[B\] và \[C\] cắt nhau ở \[I.\]
Góc \[BIC\] bằng:
[A] \[40^o\];
[B] \[70^o\];
[C] \[110^o\];
[D] \[140^o\].
Phương pháp giải:
Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng \[{180^0}\].
Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \[\Delta ABC\] ta có:
\[\begin{array}{l}
\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\\
\Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^o} - \widehat A\\
\Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^o} - {40^o} = {140^o}
\end{array}\]
\[\widehat {{B_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat B\] [vì \[BI\] là tia phân giác góc \[B\]].
\[\widehat {{C_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat C\] [vì \[CI\] là tia phân giác góc \[C\]].
\[ \Rightarrow \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}\]\[ = \dfrac{1}{2}\left[ {\widehat B + \widehat C} \right]\]
Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào\[\Delta BIC\] ta có:
\[\begin{array}{l}
\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {BIC} = {180^o}\\
\Rightarrow \widehat {BIC} = {180^o} - \left[ {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right]\\
\Rightarrow \widehat {BIC} = {180^o} - \dfrac{1}{2}\left[ {\widehat B + \widehat C} \right]\\
\Rightarrow \widehat {BIC} = {180^o} - \dfrac{1}{2}{.140^o} = {110^o}
\end{array}\]
Chọn C.
Bài 1.2
Tam giác \[ABC\] có \[\widehat A = {75^o}\]. Tính\[\widehat B\] và \[\widehat C\], biết :
a] \[\widehat B = 2\widehat C\];
b]\[\widehat B - \widehat C = {25^o}\].
Phương pháp giải:
Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng \[{180^0}\].
Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \[\Delta ABC\], ta có:
\[\begin{array}{l}
\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\\
\Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^o} - \widehat A\\
\Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^o} - {75^o} = {105^o}\,\,\,\,[1]
\end{array}\]
a] Thay \[\widehat B = 2\widehat C\] vào [1] ta được:
\[\begin{array}{l}
2\widehat C + \widehat C = {105^o}\\
\Rightarrow 3\widehat C = {105^o}\\
\Rightarrow \widehat C = {105^o}:3 = {35^o}\\
\Rightarrow \widehat B = 2\widehat C = {2.35^o} = {70^o}
\end{array}\]
b]\[\widehat B - \widehat C = {25^o} \Rightarrow \widehat B = \widehat C + {25^o}\,\,\,[2]\]
Thay [2] vào [1] ta được:
\[\begin{array}{l}
\widehat C + {25^o} + \widehat C = {105^o}\\
\Rightarrow 2\widehat C + {25^o} = {105^o}\\
\Rightarrow 2\widehat C = {105^o} - {25^o}\\
\Rightarrow 2\widehat C = {80^o}\\
\Rightarrow \widehat C = {80^o}:2 = {40^o}\\
\Rightarrow \widehat B = \widehat C + {25^o} = {40^o} + {25^o} = {65^o}
\end{array}\]
Bài 1.3
Tam giác \[ABC\] có \[\widehat B = {110^o},\widehat C = {30^o}\]. Gọi \[Ax\] là tia đối của tia \[AC.\] Tia phân giác của góc \[BAx\] cắt đường thẳng \[BC\] tại \[K.\] Chứng minh rằng tam giác \[KAB\] có hai góc bằng nhau.
Phương pháp giải:
- Góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
- Tổng số đo hai góc kề bù bằng \[180^o\].
Lời giải chi tiết:
+ Ta có\[\widehat {ABK}\] và\[\widehat {ABC}\] là haigóc kề bù nên\[\widehat {ABK}+\widehat {ABC}=180^0\]
\[\Rightarrow \widehat {ABK} =180^0-\widehat {ABC}\]\[= {180^o} - {110^o} = {70^o}\] [1]
+ Xét tam giác ACB có\[\widehat {BAx}\]là góc ngoài tại đỉnh A nên:
\[\widehat {BAx} = {110^o} + {30^o} = {140^o}\] [tính chất góc ngoài tam giác]
+ Do đó:
\[\widehat {BAK} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAx} = \dfrac{1}{2}{.140^o} = {70^o}\] [vì \[AK\] là tia phân giác góc \[A\]][2]
Từ [1] và [2] suy ra tam giác \[KAB\] có hai góc bằng nhau.
Bài 1.4
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\] Gọi \[d\] là đường thẳng vuông góc với \[BC\] tại \[C.\] Tia phân giác của góc \[B\] cắt \[AC\] ở \[D\] và cắt \[d\] ở \[E.\] Chứng minh rằng tam giác \[CDE\] có hai góc bằng nhau.
Phương pháp giải:
- Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.
- Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
+] Ta có: \[\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\] [hai góc đối đỉnh].
+] Tam giác ABD vuông tại A nên:
\[\widehat {{D_1}} + \widehat {{B_1}} = {90^o}\] [trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau].
\[ \Rightarrow \widehat {{D_2}} + \widehat {{B_1}} = {90^o}\] [*]
+] Tam giác BCE vuông tại C nên:
\[\widehat {{B_2}} + \widehat {{E_1}} = {90^o}\][trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau].
Mặt khác\[\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\] [vì \[BE\] là phân giác góc \[B\]].
\[ \Rightarrow \widehat {{B_1}} + \widehat {{E_1}} = {90^o}\] [2*]