Đề bài
Xác định giá trị của tham số \[m\] để hàm số sau có cực trị: \[y = {x^3} - 3\left[ {m - 1} \right]{x^2} - 3\left[ {m + 3} \right]x - 5\]
A. \[m \ge 0\] B. \[m \in \mathbb{R}\]
C. \[m < 0\] D. \[m \in \left[ { - 5;5} \right]\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm số có cực trị nếu đạo hàm đổi dấu trên TXĐ \[D\].
Lời giải chi tiết
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].
Ta có: \[y' = 3{x^2} - 6\left[ {m - 1} \right]x - 3\left[ {m + 3} \right]\].
Hàm số có cực trị nếu đạo hàm đổi dấu trên \[\mathbb{R}\]
\[ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6\left[ {m - 1} \right]x - 3\left[ {m + 3} \right] = 0\] có hai nghiệm phân biệt
\[ \Leftrightarrow \Delta ' = 9{\left[ {m - 1} \right]^2} + 9\left[ {m + 3} \right] > 0\] \[ \Leftrightarrow 9\left[ {{m^2} - m + 4} \right] > 0\] [luôn đúng với \[\forall m\]]
[Vì \[{m^2} - m + 4 = {\left[ {m - \frac{1}{2}} \right]^2} + \frac{{15}}{4} > 0\] với mọi m]
Vậy với mọi \[m \in \mathbb{R}\] thì hàm số luôn có cực trị.
Chú ý:
Cũng có thể giải thích \[{m^2} - m + 4 > 0,\forall m\] bằng cách tính \[{\Delta _m} = {\left[ { - 1} \right]^2} - 4.1.4 = - 15 < 0\]
Chọn B.