Đề bài
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông, \[SA\] vuông góc với đáy, \[SA = AC\]. Mặt phẳng qua \[A\] vuông góc với \[SC\] cắt \[SB,SC,SD\] lần lượt tại \[B',C',D'\]. Tỉ số giữa thể tích hình chóp \[S.AB'C'D'\] và thể tích hình chóp \[S.ABCD\] là:
A. \[\dfrac{1}{6}\] B. \[\dfrac{1}{4}\]
C. \[\dfrac{1}{3}\] D. \[\dfrac{1}{2}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Dựng mặt phẳng \[\left[ {AB'C'D'} \right]\] và tính tỉ số các đoạn thẳng \[\dfrac{{SB'}}{{SB}},\dfrac{{SC'}}{{SC}},\dfrac{{SD'}}{{SD}}\].
- Tính tỉ số thể tích hai hình chóp bằng cách chia thành các hình chóp tam giác.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\Delta SAC\] vuông cân và \[SC \bot AC'\] nên \[C'\] là trung điểm của \[SC\].
Gọi \[I = AC \cap BD\] và \[J = SI \cap AC'\].
Khi đó \[J\] là trọng tâm của \[\Delta SAC\].
Dễ thấy \[BD \bot \left[ {SAC} \right] \Rightarrow BD \bot SC\].
Mà \[SC \bot \left[ {AB'C'D'} \right]\] \[ \Rightarrow BD// [AB'C'D']\].
Do đó \[BD//B'D'\] \[ \Rightarrow \dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SD'}}{{SD}} = \dfrac{{SJ}}{{SI}} = \dfrac{2}{3}\].
\[ \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\] \[ = 1.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\]
\[\dfrac{{{V_{S.AD'C'}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SD'}}{{SD}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\]\[ = 1.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\]
\[ \Rightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{{V_{S.AD'C'}}}}{{{V_{S.ADC}}}}\] \[ = \dfrac{{{V_{S.AB'C'}} + {V_{S.AD'C'}}}}{{{V_{S.ABC}} + {V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{{V_{S.AB'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\]
Vậy \[\dfrac{{{V_{S.AB'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{1}{3}\].
Chọn C.