Định nghĩa - lý thuyết tích của vectơ với một số

1. Định nghĩa

Cho một số \(k \ne 0\) và vec tơ\(\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}\).

Tích của một số k với vec tơ\(\overrightarrow{a}\)là một vec tơ , kí hiệu là \(k\overrightarrow{a}\)

+) cùng hướng với\(\overrightarrow{a}\)nếu \(k > 0\)

+) ngược hướng với\(\overrightarrow{a}\) nếu \(k< 0\)

+) có độ dài bằng \(|k|.\left | \overrightarrow{a} \right |\)

Quy ước:\(0\,.\overrightarrow a = 0,\;\,k.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)

2. Tính chất

a) Phân phối với phép cộng vec tơ:

\(k (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = k \overrightarrow{a}+ k\overrightarrow{b}\)

b)Phân phối với phép cộng các số:

\((h+k)\overrightarrow{a} = h \overrightarrow{a} +k\overrightarrow{a}\)

c) Kết hợp:

\(h(k\overrightarrow{a}) = (h.k)\overrightarrow{a}\)

d) \(1. \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}\); \((-1)\overrightarrow{a}= -\overrightarrow{a}\)

3. Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

a) Nếu \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) thì với mọi điểm \(M\) ta có

\(\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}\)

b) Nếu \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thi mọi điểm \(M\) ta có

\(\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}= 3\overrightarrow{MG}\)

4. Điều kiện để hai vec tơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) (\(\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \))cùng phương là có một số \(k\) để\(\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}\).

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \).

5. Phân tích một vec tơ thành haivec tơ không cùng phương

Cho hai vec tơ\(\overrightarrow{a}\)và\(\overrightarrow{b}\)không cùng phương. Khi đó mọi vec tơ\(\overrightarrow{x}\)đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vec tơ\(\overrightarrow{a}\),\(\overrightarrow{b}\), nghĩa là có duy nhất một cặp số \(h, k\) sao cho\(\overrightarrow{x}= h\overrightarrow{a}+ k\overrightarrow{b}\).

Khi đó ta nói vecto \(\overrightarrow{x}\) được phân tích ( hay biểu thị) theo hai vecto không cùng phương là\(\overrightarrow{a}\),\(\overrightarrow{b}\).