trong: Toán học, Toán học lớp 11, Đại số
Xem mã nguồn
- m [-1;1] => phương trình vô nghiệm
- m ∈ [-1;1] thì:
- sinx=sinα [α = SHIFT sin]
- Nếu m không là "giá trị đặc biệt" thì:
- x = arcsinm + k2.pi [arc = SHIFT sin]
- x = pi - arcsinm + k2.pi
- sinx = 1 x=
- sinx = -1 x=
- sinx = 0 x=k.pi
- m [-1;1] => phương trình vô nghiệm
- m ∈ [-1;1] thì:
- cosx=cosα [α = SHIFT sin]
- Nếu m không là "giá trị đặc biệt" thì:
- x = ±arccosm + k2.pi [arc = SHIFT cos]
- cosx = 1 x=
- cosx = -1 x=
- cosx = 0 x=
- tanx=tanα [α = SHIFT tan]
x = α + k.pi [α: rad, k∈Z]
x = a + k.360° [α: độ°, k∈Z]
- Nếu m "không là giá trị đặc biệt thì
cotx=m
- cotx=cotα [α = SHIFT tan[1/m]]
x = α + k.pi [α: rad, k∈Z]
x = a + k.360° [α: độ°, k∈Z]
- Nếu m "không là giá trị đặc biệt thì
Xem lại các giá trị lượng giác của các góc, cung đặc biệt:
Một số dạng toán
Biến đổi
- sinf[x] = -sing[x] = sin[-g[x]]
- sinf[x] = cosg[x] → sinf[x] = sin[pi/2 - g[x]]
- sinf[x] = -cosg[x] → cosg[x] = -sinf[x] = sin[-f[x]] → cosg[x] = cos[pi/2 - f[x]]
- Khi có , ta thường "hạ bậc tăng cung".
Tìm nghiệm và số nghiệm
1] Giải phương trình A với x ∈ a.
- Trước hết tìm họ nghiệm của phương trình a.
- Xét x trong a. Lưu ý k ∈ Z. Khi tìm được k, quay lại họ nghiệm để tìm ra nghiệm x.
2] Tìm số nghiệm k
- Các bước tương tự như trên.
- Tìm được k → số nghiệm.
Tìm giâ trị lớn nhất và nhỏ nhất
Tìm nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất
1] Với nghiệm âm lớn nhất
- Xét x < 0 [k ∈ Z]
- Thay vào họ nghiệm để tìm nghiệm.
2] Với nghiệm dương nhỏ nhất
- Xét x > 0 [k ∈ Z]
- Thay vào họ nghiệm để tìm nghiệm.
Tìm tập giá trị
Tìm tập giá trị của phương trình A.
- Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai.
- Đặt phương trình lượng giác [sin, cos...] = t [nếu có điều kiện]
- Tìm đỉnh I [-b/2a; -Δ/4a]
- Vẽ bảng xét giả trị [hình minh họa]: [pt âm → mũi trên đi ↑ rồi ↓ và ngược lại]
- Tìm miền giá trị tại hai điểm thuộc t [thay 2 giá trị đó vào t] rồi rút ra kết luận.
- Chú ý: Asinx + Bcosx = C
1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Phương pháp chung:
- Bước 1: Biến đổi các phương trình đã cho về dạng tích \[A.B = 0\] hoặc sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, nhân đôi, nhân ba,…
- Bước 2: Giải các phương trình lượng giác cơ bản, tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện [nếu có].
2. Phương trình bậc hai đối với một số hàm số lượng giác
Phương trình dạng \[a{f^2}\left[ x \right] + bf\left[ x \right] + c = 0\left[ {a,b,c \in R;a \ne 0} \right]\], ở đó \[f\left[ x \right] = \sin u\left[ x \right]\] [hoặc \[\cos u\left[ x \right],\tan u\left[ x \right],\cot u\left[ x \right]\]].
Phương pháp chung:
- Bước 1: Đặt \[t = f\left[ x \right]\] và đặt điều kiện cho \[t\].
- Bước 2: Thay \[t\] vào phương trình và giải phương trình bậc hai đối với \[t\], kết hợp điều kiện tìm \[t\].
- Bước 3: Giải phương trình \[f\left[ x \right] = t\] tìm \[x\] và kết luận [chú ý kiểm tra điều kiện nếu có của \[x\]].
3. Phương trình bậc nhất đối với \[\sin x\] và \[\cos x\]
Phương trình dạng: \[a\cos x + b\sin x = c\left[ {{a^2} + {b^2} > 0} \right]\].
Phương pháp chung:
Cách 1: [Thường dùng cho giải phương trình]
- Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \[{a^2} + {b^2} \ge {c^2}\].
- Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \[\sqrt {{a^2} + {b^2}} \] thì phương trình có dạng:
\[\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\].
- Bước 3: Đặt \[\cos \alpha = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\sin \alpha = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\] thì phương trình trở thành \[\cos \left[ {x - \alpha } \right] = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\].
- Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm \[x\].
Cách 2: [Thường dùng để giải và biện luận]:
- Bước 1: Xét \[x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \] có là nghiệm hay không.
- Bước 2: Xét \[x \ne \pi + k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \] thì đặt \[t = \tan \dfrac{x}{2} \Rightarrow \sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\] ta được phương trình bậc hai theo \[t:\left[ {b + c} \right]{t^2} - 2at + c - b = 0\].
- Bước 3: Giải phương trình trên tìm \[t \Rightarrow x\] và kiểm tra điều kiện, kết luận nghiệm.
4. Phương trình đẳng cấp đối với \[\sin x\] và \[\cos x\]
Phương trình dạng \[{a_0}{\sin ^n}x + {a_1}{\sin ^{n - 1}}x\cos x + ... + {a_{n - 1}}\sin x{\cos ^{n - 1}}x + {a_n}{\cos ^n}x = 0\].
Phương pháp chung:
- Bước 1: Xét \[\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = 1\], thay vào phương trình xem có thỏa mãn hay không.
- Bước 2: Xét \[\cos x \ne 0\], chia hai vế của phương trình cho \[{\cos ^n}x \ne 0\] và đặt \[\tan x = t\].
- Bước 3: Giải phương trình ẩn \[t\] tìm nghiệm \[t\].
- Bước 4: Giải phương trình \[\tan x = t\] tìm nghiệm, kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.
6. Phương trình đối xứng và dạng đối xứng với \[\sin x\] và \[\cos x\]
Phương trình dạng \[a\left[ {\sin x + \cos x} \right] + b\sin x\cos x + c = 0\].
Phương pháp chung:
- Bước 1: Đặt \[\sin x + \cos x = t \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\].
- Bước 2: Thay vào phương trình tìm \[t\].
- Bước 3: Giải phương trình \[\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{4}} \right] = t\] để tìm \[x\].