Các công thức lượng giác nâng cao

Ở bậc THCS các em đã làm quen với các công thức lượng giác cơ bản như sin, cos. Lên lớp 10, kiến thức này mở rộng ra khá nhiều giúp giải quyết nhiều bài toán phức tạp. Để học tốt phần này, có kiến thức nền tảng thì các công thức lượng giác lớp 10 nâng cao là cần thiết, nếu bạn chưa biết có thể xem chi tiết nội dung dưới đây:

A. Công thức lượng giác lớp 10

1. Công thức lượng giác cơ bản

Xin giới thiệu 4 công thức lượng giác hay dùng:

2. Công thức cộng

Khi bạn muốn tách góc hay ghép góc thì 6 công thức lượng giác dưới đây bắt buộc phải nhớ

3. Công thức góc nhân đôi

Khi làm bài tập phần lượng giác bạn thường xuyên dùng tới công thức góc nhân đôi bởi nó tác dụng làm giảm góc.

Trên đây là 4 công thức nhân đôi làm giảm góc hay dùng nhất hiện nay.

4. Công thức hạ bậc

Tác dụng của công thức hạ bậc để làm mất bình phương của sin, cos, hay tan.

Đây là công thức thường dùng trong quá trình giải bài tập nên bạn cần thường xuyên học và ghi nhớ.

B. Bài tập có lời giải

Bài tập 1: Cho $\tan \alpha ,\tan \beta $ là hai nghiệm của phương trình ${x^2} + bx + c = 0$ [$c \ne 1$]. Tính giá trị của biểu thức P = asin2[α + β] + bsin[2α + 2β] + c.cos[α + β] theo a, b, c

Lời giải

Theo định lí Viét ta có: $\tan \alpha + \tan \beta = – b,\tan \alpha .\tan \beta = c$

Suy ra $\tan [\alpha + \beta ] = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 – \tan \alpha .\tan \beta }} = \frac{{ – b}}{{1 – c}}$.

Ta có: $P[1 + {\tan ^2}[\alpha + \beta ]] = \frac{P}{{{{\cos }^2}[\alpha + \beta ]}}$

$ = {\rm{a}}{\tan ^2}[\alpha + \beta ] + 2b\tan [\alpha + \beta ] + c$

$ \Rightarrow P = \frac{{a{{\tan }^2}[\alpha + \beta ] + 2b\tan [\alpha + \beta ] + c}}{{1 + {{\tan }^2}[\alpha + \beta ]}}$

$ = \frac{{a.\frac{{{b^2}}}{{{{[1 – c]}^2}}} – \frac{{2{b^2}}}{{1 – c}} + c}}{{1 + \frac{{{b^2}}}{{{{[1 – c]}^2}}}}}$

$ = \frac{{a{b^2} – 2{b^2}[1 – c] + c{{[1 – c]}^2}}}{{{{[1 – c]}^2} + {b^2}}}$

Bài tập 2: Giải phương trình ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = 1 + {\cos ^2}[3x + \frac{\pi }{4}]$

Giải

Điều kiện: $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$

Ta có: ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x \ge 2 \ge 1 + {\cos ^2}\left[ {3x + \frac{\pi }{4}} \right]$

Nên phương trình $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\tan ^2}x = {\cot ^2}x\\ \sin \left[ {3x + \frac{\pi }{4}} \right] = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = – \frac{\pi }{{12}} + m\frac{\pi }{3} \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài tập 3: Giải phương trình $\frac{{\cos x – 2\sin x.\cos x}}{{2{{\cos }^2}x + \sin x – 1}} = \sqrt 3 $

Lời giải

Điều kiện: $2{\cos ^2}x + \sin x – 1 \ne 0$ $ \Leftrightarrow \cos 2x + \sin x \ne 0$

Phương trình $ \Leftrightarrow \cos x – \sin 2x = \sqrt 3 \cos 2x + \sqrt 3 \sin x$

$ \Leftrightarrow \cos \left[ {2x – \frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left[ {x + \frac{\pi }{3}} \right]$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = – \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3} \end{array} \right.$

Kết hợp điều kiện ta có $x = – \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}$.

Bài tập 4: Giải phương trình $2\sqrt 2 {\cos ^3}[x – \frac{\pi }{4}] – 3\cos x – \sin x = 0$

Lời giải

Phương trình $ \Leftrightarrow {\left[ {\sin x + \cos x} \right]^3} – 3\cos x – \sin x = 0$

$ \Leftrightarrow {[\sin x + \cos x]^3} – [3\cos x + \sin x][{\sin ^2}x + {\cos ^2}x] = 0$

$ \Leftrightarrow \sin x{\cos ^2}x – {\cos ^3}x = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \tan x = 1 \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.$

Bài tập 5. Giải phương trình $c{\rm{os}}4x = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}3x$

Lời giải

Phương trình $ \Leftrightarrow 2\cos 4x = 1 + \cos 6x$

$ \Leftrightarrow 2\left[ {2{{\cos }^2}2x – 1} \right] = 1 + 4{\cos ^3}2x – 3\cos 2x$

$ \Leftrightarrow 4{\cos ^3}2x – 4{\cos ^2}2x – 3\cos 2x + 3 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = 1\\ \cos 2x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{{12}} + k\pi ,x = \pm \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.$

C. Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Giải phương trình lượng giác sau

1. $2\left[ {{{\cos }^4}x – {{\sin }^4}x} \right] = 1$
2. ${\left[ {\cos x + \sin x} \right]^2} = 3\sin 2x$
3. ${\left[ {\cos x – \sin x} \right]^2} = 1 – \cos 3x$
4. ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{3}{4}$
5. ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x = \frac{7}{{16}}$

Bài tập 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x = \frac{7}{{16}}$ [với m à tham số]

Bài tập 3: Tìm số nghiệm trên khoảng $[ – \pi ;\pi ]$ của phương trình : 2[sinx + 1][sin22x – 3sinx + 1] = sin4x.cosx

Bài tập 4: Tìm số nghiệm $x \in \left[ {0;2\pi } \right]$ của phương trình : $\frac{{\sin 3x – \sin x}}{{\sqrt {1 – \cos 2x} }} = \sin 2x + \cos 2x$

Bài tập 5: Tìm giá trị m để phương trình: $2\sin [x + \frac{\pi }{{10}}] = 2m + 1$ vô nghiệm.

Trên đây là bài viết chia sẻ các công thức lượng giác lớp 10 nâng cao. Hy vọng rằng bài viết này hữu ích với bạn trong quá trình học tập. Chúc bạn học tốt lượng giác.