Phương pháp dây cung trong phương pháp tính
|
2. Giải gần đúng các phương trình2.42.4.1Phương pháp dây cungMô tả phương phápXét phương trình f (x) = 0 trong khoảng phân ly nghiệm là (a; b). Nội dung củaphương pháp dây cung là ta thay đường cong y = f (x) bằng dây cung của nótrong (a; b).Trong hình 4.4 ta thay cung AB bởi dây cung AB rồi lấy hoành độ x1của giao điểm P của dây cung với trục hoành làm giá trị gần đúng của nghiệm α.Phương trình dây cung ABy − f (a)x−a=f (b) − f (a) b − aTại giao điểm P ta có y = 0 và x = x1 , nên ta cóx1 − a− f (a)=f (b) − f (a)b−aTừ đó suy rax1 =a f (b) − b f (a)f (b) − f (a)(4.10)Phương pháp tính x1 như vậy gọi là phương pháp dây cung.Hình 4.4: Phương pháp dây cungSau khi tính x1 và nếu nó không là nghiệm đúng ta có thể xem xét khoảng phânly nghiệm mới là (a, x1 ) hay (x1 , b), và đặt nó là (a1 , b1 ), rồi tiếp tục áp dụngphương pháp dây cung vào khoảng phân ly nghiệm mới, nhỏ hơn khoảng cũ. vàcứ thế tiếp tục ta sẽ được các giá trị x2 , x3 , x3 , . . . ngày càng gần α.87 Chương 4. PHƯƠNG PHÁP TÍNHTa chứng minh được công thức tổng quátxn+1 =an f (bn ) − bn f (an )f (bn ) − f (an )(4.11)Sai số được xác định bằng định lý sau.Định lý 4.2.11 Cho hàm f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và {xn } là một dãy trongđoạn [a, b]. Nếu f ′ x không đổi dấu trên [a, b] và với mọi x ∈ [a, b] ta có0 < m ≤ f ′ (x) ≤ M < ∞thì|xn − α| ≤M−m|xn − xn−1 | .mhVí dụ 4.2.12 Tìm nghiệm gần đúng nghiệm của phương trình x3 −x−1 = 0 trongkhoảng phân ly nghiệm (1, 2) bằng phương pháp dây cung.Giải Ta có: a = 1, b = 2; f (a) = f (1) = −1 < 0, f (b)2.4.2Tóm tắt phương pháp dây cungTóm tắt phương pháp dây cung1. Cho phương trình f (x) = 02. Ấn định sai số cho phép ε3. Tìm khoảng phân ly nghiệm (a; b)4. x1 := b;whlie f (x) ̸= 0 và b − a > ε dob−ax1 := a −f (a);f (b) − f (a)if f (a) f (x1 ) < 0 thenb := x1 ;else a := x1 ;| f (x1 )|trong đó 0 < m ≤ | f ′ (x)|Kết quả α ≈ x1 . Sai số |α − x1 | ≤mvớix ∈ (a, b) .88 2. Giải gần đúng các phương trình2.4.3Bài toán :Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f (x) = 0 trong khoảng phân ly nghiệm(a; b) bằng phương pháp dây cung.Phương pháp giảiA. Xét hàm số f (x) trong khoảng phân ly (a; b).1. Tính:∙ f (a) = · · ·∙ f (b) = · · ·2. Tính:a f (b) − b f (a)∙ x1 == ···f (b) − f (a)∙ f (x1 ) = · · ·3. Kiểm tra sai số. Xác định khoảng phân ly mới ( f (x1 ) · f (?) <0).B. Xét hàm số f (x) trên khoảng phân ly mới. Lập lại các bước 1, 2, 3, 4cho đến khi đạt kết quả như mong muốn.Ví dụ 4.2.13 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f (x) = x3 − x − 1 = 0 trongkhoảng phân ly nghiệm (1; 2) bằng phương pháp dây cung. Lấy 3 chữ số lẻ phầnthập phân.Giải* Xét hàm số f (x) = x3 − x − 1 trong khoảng phân ly (1; 2).1. Ta có:∙ f (a) = f (1) = 13 − 1 − 1 = −1 < 0∙ f (b) = f (2) = 23 − 2 − 1 = 5 > 02. Ta có:a f (b) − b f (a) 1.5 − 2.(−1)=≈ 1, 167f (b) − f (a)5 − (−1)∙ f (x1 ) = −0, 578 < 0∙ x1 =89 Chương 4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH3. Sai số: |2 − 1, 167| = 0, 833Do f (x1 ) · f (2) < 0 nên ta được khoảng phân ly mới là (1, 167; 2)* Xét trên khoảng phân ly mới (1, 167; 2)1. Ta có:∙ f (1, 167) = −0, 578 < 0∙ f (2) = 5 > 02. Ta có:1, 1675.5 − 2.(−0, 578)≈ 1, 2535 − (−0, 578)3. Sai số |2 − 1, 253| = 0, 747∙ x2 =2.52.5.1gPhương pháp tuyến tính (Newton)Mô tả phương phápXét trong khoảng phân ly nghiệm (a; b). Ý tưởng chủ đạo của phương pháp tuyếntính là thay tương ứng cung AB bởi tiếp tuyến tại B.Hình 4.5: Phương pháp NewtonXét trường hợp cụ thể như trong hình vẽ. Cung đồ thị AB cắt trục hoành tại M cóhoành độ chính là nghiệm α. Để tính gần đúng α ta thay gần đúng cung AB bởitiếp tuyến tại B, có hoành độ x0 , tiếp tuyến này cắt trục hoành tại P, có hoành độx1 , và ta xem x1 là giá trị gần đúng của α. Ta có:x1 = x0 −90f (x0 )f ′ (x0 )(4.12) 2. Giải gần đúng các phương trìnhTổng quátxn = xn−1 −2.5.2f (xn−1 )f ′ (xn−1 )(4.13)Sự hội tụMục đích của ta là tính gần đúng α. Điều đó chỉ có thể thực hiện bằng phươngpháp tuyến tính nếu trong (4.13) xn −→ α khi n −→ ∞. Ta có Định lý sauĐịnh lý 4.2.14 Giả sử (a; b) là khoảng phân ly nghiệm α cú phương trình f (x) =0, f có các đạo hàm f ′ và f ′′ liên tục trên [a; b], f ′ và f ′′ không đổi dấu trong(a; b). Xấp xỉ x0 chọn là a hay b sao cho f (x0 ) cùng dấu f ′′ . Khi đó xn tính bởi(4.13) hội tụ về α khi n −→ ∞, cụ thể hơn ta có xn đơn điệu tăng tới α nếuf ′ f ′′ < 0, xn đơn điệu giảm tới α nếu f ′ f ′′ > 0.h2.5.3Tóm tắt phương pháp NewtonTÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP NEWTON1. Cho phương trình f (x) = 0.2. Ấn định sai số cho phép ε.3. Tìm khoảng phân ly nghiệm (a, b) trong đó f ′ và f ′′ không đổidấu.4. Chọn x0 .5. Tính f (x0 ) và f ′ (x0 )Cho x1 := x0 ;repeatCho x0 := x1 ;f (x0 );f ′ (x0 )until |x1 − x0 | < ε.Cho x1 = x0 −Kết quả α ≈ x1 . Sai số |α − xn | ≤với x ∈ (a, b).| f (xn )|trong đó 0 < m ≤ | f ′ (x)|m91 This Paper A short summary of this paper 37 Full PDFs related to this paper
Giả sử f(x) liên tục trên trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0. Cần tìm nghiệm của f(x) = 0. Để xác định ta xem f(a) < 0 và f(b) > 0. Khi đó thay vì chia đôi đoạn [a, b] ta chia [a, b] theo tỉ lệ -f(a)/f(b). Điều đó cho ta nghiệm gần đúng :
Tiếp theo dùng cách đó với đoạn [ a, x1] hay [x1, b] mà hai đầu hàm nhận giá trị trái dấu ta được nghiệm gần đúng x2 v.v. Về mặt hình học, phương pháp này có nghĩa là kẻ dây cung của đường cong f(x) qua hai điểm A[a, f(a)] và B[b, f(b)]. Thật vậy phương trình dây cung AB có dạng:
 Trên cơ sở của phương pháp ta có chương trình tính nghiệm của phương trình Chương trình 2-4printf("Tim nghiem cua phuong trinh phi tuyen\n"); printf("bang phuong phap day cung\n"); printf("Cho cac gia tri a,b\n"); printf("Cho gia tri cua a = "); printf("Cho gia tri cua b = "); printf("Nghiem x = %.3f",x); float e=x*x*x*x+2*x*x*x-x-1; Kết quả tính cho nghiệm: x = 0.876
|
