Bài viết này, boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn những lý thuyết, định nghĩa cùng cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, kèm những ví dụ minh họa, bài tập có lời giải chi tiết
Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên D
Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số
Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f[x] trên D ta tính y ‘ , tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN, GTNN.
Chú ý:
• Nếu hàm số y = f[x] là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn thuộc D có độ dài bằng T .
* Cho hàm số y = f[x] xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ t = u[x], ta tìm được t ∈ E với ∀ x ∈ D , ta có y = g[x] thì Max, Min của hàm f trên D chính là Max, Min của hàmg trên E .
* Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số.
* Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min.
* Ta cần phân biệt hai khái niệm cơ bản :
+ Giá trị lớn nhất của hàm số y = f[x] trên D với cực đại của hàm số .
+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f[x] trên D với cực tiểu của hàm số .
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f[x] trên D mang tính toàn cục , còn giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số chỉ mang tính địa phương.
Các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f[x] trên D ta có thể sử dụng đạo hàm và kết hợp với việc so sánh giá trị cực đại, cực tiểu với giá trị đặc biệt [ta gọi đó là các giá trị tới hạn]. Giá trị tới hạn này thường là các giá trị tại các đầu mút của các đoạn hoặc là giá trị của hàm số tại các điểm mà không tồn tại đạo hàm.
Trên đây là những kiến thức cơ bản về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, kèm những bài tập có lời giải. Hi vọng qua những chia sẻ này, bạn sẽ nắm vững kiến thức của dạng bài tập này.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tóm tắt lý thuyết GTLN và GTNN của hàm số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Tóm tắt lý thuyết GTLN và GTNN của hàm số: 1 Định nghĩa: Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f[x] xác định trên tập. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f[x] trên tập nếu. Kí hiệu M = max f[x]. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f[x] trên tập nếu. Kí hiệu m = min f[z]. Ví dụ. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng. Lời giải. Trên khoảng ta có: Bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất, đó cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vậy min f[z] = -3 tại x = 1. Không có giá trị lớn nhất của f[x] trên khoảng. 2. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn: Định lí 1. Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn. Nhận xét. Nếu hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] giữ nguyên dấu trên đoạn thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f[x] đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn. Quy tắc để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f[x] trên đoạn [a; b] ta làm như sau: Tìm f'[x] và tìm các điểm C1, C2, …, Cn trên khoảng [a; b] mà tại đó f'[x] = 0 hoặc f'[x] không xác định. Tính f[x1], f[x2], …, f[xn], f[a], f[6]. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó.
Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 2]. Lời giải. Ta có: Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f[x] trên khoảng [0; 1]. Lời giải. Trên khoảng [0; 1], ta có f'[x]. Bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng [0; 1] hàm số không có giá trị lớn nhất, cũng không có giá trị nhỏ nhất. Một số phương pháp khác tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Cho hàm số y = f[x]. Phương pháp miền giá trị. Xem y = f[x] là phương trình đối với ẩn số và là tham số; Tìm điều kiện của y để phương trình y = f[x] có nghiệm; Từ điều kiện trên, biến đổi đưa đến dạng m < 0 < M. Xét dấu “=” xảy ra và kết luận. Phương pháp đạo hàm: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f[x]; Dựa vào bảng biến thiên để kết luận. Phương pháp dùng bất đẳng thức. Dùng các bất đẳng thức quen thuộc để chứng minh f[x] < M hoặc f[x] > m. Phải chỉ ra tồn tại sao cho f[1] = M, f[z] = m.
Lý thuyết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
Lý thuyết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
Tóm tắt kiến thức
1. Khái niệm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
Cho hàm số y = f[x] xác định trên tập D.
– Số m là giá trị nhỏ nhất [GTNN] của hàm số f trên D ⇔ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f[x]\ge m,\forall x\in D\\\exists {{x}_{0}}\in D;f[{{x}_{0}}]=m\end{array} \right.$
Kí hiệu : M = $\displaystyle \underset{D}{\mathop{{\min }}}\,f[x]$
– Số M là giá trị lớn nhất [GTLN] của hàm số f trên D ⇔ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f[x]\le M,\forall x\in D\\\exists {{x}_{0}}\in D;f[{{x}_{0}}]=M\end{array} \right.$
Kí hiệu: M = $\displaystyle \underset{D}{\mathop{{\max }}}\,f[x]$
2. Hàm số liên tục trên một đoạn thì có giá trị nhỏ nhấtvà giá trị lớn nhất trên đoạn đó
3. Quy tắc tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a ; b]
– Tìm các điểm $\displaystyle {{x}_{i}}$ ∈ [a ; b][i = 1, 2, . . . , n] mà tại đó f'[$\displaystyle {{x}_{i}}$] = 0 hoặc f'[$\displaystyle {{x}_{i}}$] không xác định.
– Tính f[a], f[b], f[$\displaystyle {{x}_{i}}$] [i = 1, 2, . . . , n] .
– Khi đó :
$\displaystyle \underset{{[a;b]}}{\mathop{{\min }}}\,f[x]=\min \{f[a];f[b];f[{{x}_{i}}]\}$
$\displaystyle \underset{{[a;b]}}{\mathop{{\max }}}\,f[x]=\max \{f[a];f[b];f[{{x}_{i}}]\}$
4. Cách tìm GTNN và GTLN của hàm số y = f[x]
Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = f[x] xác định trên tập hợp D, ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số y= f[x] trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số mà kết luận về GTNN và GTLN của hàm số đó.
Đại số, Toán lớp 12 - Tags: đại số 12, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, hàm số, max, minPhép tịnh tiến
Vi phân
Đạo hàm của hàm lượng giác
Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Lý thuyết về giới hạn của dãy số
Phương pháp quy nạp toán học
Lý thuyết hàm số lượng giác