Ta có: $y=\left| f\left[ x \right] \right|\Rightarrow y'=\frac{f'\left[ x \right].f\left[ x \right]}{\left| f\left[ x \right] \right|}$ do đó
Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f'\left[ x \right].f\left[ x \right]=0.$
Như vậy: Nếu gọi m là số điểm cực trị của hàm số $y=f\left[ x \right]$và n là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left[ x \right]$và trục hoành thì $m+n$ là số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ [chú ý ta cần bỏ đi các nghiệm bội chẵn].
Bài tập cực đại cực tiểu hàm trị tuyệt đối loại 1 – có đáp án
Bài tập 1: [Đề thi THPT QG năm 2017] Cho hàm số $y=f\left[ x \right]$ có bảng biến thiên như sau. Đồ thị của hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 3. C. 4. D. 2. |
Lời giải chi tiết
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Đồ thị hàm số $y=f\left[ x \right]$ cắt trục hoành $y=0$ tại 1 điểm nên $m=1.$
Hàm số $y=f\left[ x \right]$ có 2 điểm cực trị nên $n=2\Rightarrow $ Hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left[ x \right]$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới: Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số $y=f\left[ x \right]$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$
Phương trình $f\left[ x \right]=0$ có 3 nghiệm [tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép] suy ra $n=2.$
Do đó hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ có $m+n=5$ điểm cực trị. Chọn C.
Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left[ x \right]$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số $y=f\left[ x \right]$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$
Đồ thị hàm số $y=f\left[ x \right]$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt [tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép] nên $n=2.$
Do đó hàm số $y=\left| f\left[ x \right] \right|$ có 5 điểm cực trị. Chọn C.
Bài tập 4: Cho hàm số $y=f\left[ x \right]$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left[ x \right]+2 \right|$là: A. 4. B. 6. C. 3. D. 5. |
Lời giải chi tiết
Đặt $g\left[ x \right]=f\left[ x \right]+2\Rightarrow g'\left[ x \right]=f'\left[ x \right]$
Phương trình $g'\left[ x \right]=f'\left[ x \right]=0$ có 3 nghiệm phân biệt nên $m=3.$
Phương trình $g\left[ x \right]=0\Leftrightarrow f\left[ x \right]=-2$ có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép $n=2.$
Do đó hàm số $y=\left| f\left[ x \right]+2 \right|$có 5 điểm cực trị. Chọn D.
Bài tập 5: Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| {{\left[ x-1 \right]}^{3}}\left[ x-3 \right]\left[ x+2 \right] \right|$ là: A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=f\left[ x \right]$ thì $y'=\frac{f'\left[ x \right]f\left[ x \right]}{\left| f\left[ x \right] \right|}$
Xét $f\left[ x \right]={{\left[ x-1 \right]}^{3}}\left[ x-3 \right]\left[ x+2 \right]$
Ta có: $f\left[ x \right]=0$ có 3 nghiệm bội lẻ $x=1,x=3,x=-2.$
Lại có: $f\left[ x \right]={{\left[ x-1 \right]}^{3}}\left[ {{x}^{2}}-x-6 \right]\Rightarrow f'\left[ x \right]=3{{\left[ x-1 \right]}^{2}}\left[ {{x}^{2}}-x-6 \right]+{{\left[ x-1 \right]}^{3}}\left[ 2x-1 \right]$
$={{\left[ x-1 \right]}^{2}}\left[ 3{{x}^{2}}-3x-18+\left[ x-1 \right]\left[ 2x-1 \right] \right]={{\left[ x-1 \right]}^{2}}\left[ 5{{x}^{2}}-6x-17 \right]=0\Rightarrow f'\left[ x \right]=0$ có 2 nghiệm bội lẻ. Do đó hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Chọn B.
Bài tập 6: Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x \right|$ là: A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. |
Lời giải chi tiết
$f\left[ x \right]=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ x+2 \right]-x\left[ x+2 \right]=0\Leftrightarrow x\left[ {{x}^{2}}-1 \right]\left[ x+2 \right]=0$có 4 nghiệm bội lẻ.
Phương trình $f'\left[ x \right]=4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-2x-2=0\Leftrightarrow 2\left[ 2{{x}^{2}}-1 \right]\left[ x+1 \right]=0$ có 3 nghiệm bội lẻ.
Do đó hàm số đã cho có $4+3=7$ điểm cực trị. Chọn D.
Bài tập 7: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số$y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị là: A. 0. B. 9. C. 8. D. vô số. |
Lời giải chi tiết
Xét $f\left[ x \right]={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m$
Phương trình $f'\left[ x \right]=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0 \\ x=1 \\ x=2 \\\end{matrix} \right.$ có 3 nghiệm bội lẻ.
Để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình
$f\left[ x \right]=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=-m[*]$ phải có 4 nghiệm phân biệt.
Lập BBT cho hàm số $g\left[ x \right]={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4x$ ta được:
Phương trình [*] có 4 nghiệm phân biệt khi $0-20$ để hàm số$y=f\left[ \left| x \right|+m \right]$ có 5 điểm cực trị
A. 15.
B. 19.
C. 16.
D. 18.
Lời giải
Ta có: $y'=\left[ \left| x \right|+m \right]'.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0\text{ } \\ f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0 \\\end{matrix} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left[ x \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-3 \\ x=-1 \\\end{matrix} \right.$
Do đó $f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left| x \right|+m=-3 \\ \left| x \right|+m=-1 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left| x \right|=-3-m \\ \left| x \right|=-1-m \\\end{matrix} \right.$[*]
Hàm số có 5 điểm cực trị khi [*] có 4 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} -3-m>0 \\ -1-m>0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m-20 \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ có 18 giá trị nguyên của m. Chọn D.
Ví dụ 5: Cho hàm số $y=f\left[ x \right]$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số$y=f\left[ \left| x \right|+m \right]$ có 7 điểm cực trị A. 8. B. 9. C. 12. D. 13. |
Lời giải
Ta có: $y'=\left[ \left| x \right|+m \right]'.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0\text{ } \\ f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0 \\\end{matrix} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left[ x \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-2 \\ \begin{array} {} x=-2 \\ {} x=5\text{ } \\ \end{array} \\\end{matrix} \right.$
Do đó $f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left| x \right|+m=-2 \\ \begin{array} {} \left| x \right|+m=2\text{ } \\ {} \left| x \right|+m=5 \\ \end{array} \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left| x \right|=-2-m \\ \begin{array} {} \left| x \right|=2-m\text{ } \\ {} \left| x \right|=5-m \\ \end{array} \\\end{matrix} \right.[*]$
Hàm số có 7 điểm cực trị khi [*] có 6 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} -2-m>0 \\ \begin{array} {} 2-m>0\text{ } \\ {} 5-m>0 \\ \end{array} \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m0 \\ S=2\left[ m-1 \right]>0\text{ } \\ P=2m>0\text{ } \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>2+\sqrt{3}.$
Kết hợp $\left\{ \begin{matrix} m\in \mathbb{Z}\text{ } \\ m\in \left[ -100;100 \right] \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ có 97 giá trị nguyên của m. Chọn C.
Ví dụ 7: Cho hàm số $y=f\left[ x \right]=2{{x}^{3}}-3\left[ m+1 \right]{{x}^{2}}+6\left[ {{m}^{2}}-9 \right]x+4.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -100;100 \right]$ để hàm số$f\left[ \left| x \right| \right]$ có đúng 3 điểm cực trị? A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. |
Lời giải
Để hàm số $f\left[ \left| x \right| \right]$ có đúng 3 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left[ x \right]$phải có đúng 1 điểm cực trị có hoành độ dương.
Ta có: $f'\left[ x \right]=6{{x}^{2}}-6\left[ m+1 \right]x+6\left[ {{m}^{2}}-9 \right]=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left[ m+1 \right]x+{{m}^{2}}-9=0\text{ }[*]$
Giả thiết bài toán thỏa mãn khi [*] có 2 nghiệm trái dấu hoặc [*] có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương. TH1: [*] có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9