Ôn tập Toán 9
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn là một trong những dạng bài tập quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra môn Toán 9.
Chính vì vậy trong bài viết dưới đây Download.vn giới thiệu đến các bạn lớp 9 cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn và các bài tập kèm theo. Qua đó giúp các bạn có thêm nhiều tư liệu tham khảo, trau dồi kiến thức để giải nhanh các bài tập Toán.
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn lớp 9
1. Biến đổi biểu thức
Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số.
Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Cho hai số a, b không âm ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
3. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích
II. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Gợi ý đáp án
Điều kiện xác định x ≥ 0
Để A đạt giá trị lớn nhất thì
Có
Lại có
Dấu “=” xảy ra
Min
Vậy Max
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Gợi ý đáp án
a. Điều kiện xác định
Do
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0
b. Điều kiện xác định
Do
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Gợi ý đáp án
Điều kiện xác định:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Bài 4: Cho biểu thức
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Gợi ý đáp án
a, với x > 0, x ≠ 1
b,
Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có:
Dấu “=” xảy ra
Vậy max
Bài 5: Cho biểu thức
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Gợi ý đáp án
a, với x ≥ 0, x ≠ 4
b, Có
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0
Vậy min
III. Bài tập tự luyện tìm GTLN, GTNN
Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
Bài 3: Cho biểu thức:
a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
b. Rút gọn biểu thức B
c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Bài 4: Cho biểu thức:
Bài 5: Cho biểu thức:
a. Rút gọn A
b. Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài 6: Cho biểu thức:
a. Rút gọn B
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của B.
-------------------------------------------------
Cập nhật: 09/11/2021
Cách giải bài toán tìm GTLN GTNN lớp 9
Cho hàm số y = f[x].
Kí hiệu tập xác định của hàm số f[x] là D.
Giá trị lớn nhất: m được gọi là giá trị lớn nhất của f[x] nếu:
f[x] ≤ m với mọi x ∈ D
Kí hiệu: m = maxf[x] x ∈ D hoặc giá trị lớn nhất của y = m.
Giá trị nhỏ nhất: M được gọi là giá trị nhỏ nhất nếu:
f[x] ≥ m với mọi x ∈ D
Kí hiệu: m = minf[x] x∈ D hoặc giá trị nhỏ nhất của y = M.
II. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai.
Cho biểu thức:
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng
Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi.
Bất đẳng thức Cô si [Cauchy]: Với hai số thực không âm x, y, z, t, ta có:
Với mọi số thức không âm x1, x2,..., xn, ta có:
Đại lượng x1 + x2+...+xn được gọi là trung bình cộng của các số x1, x2,..., xn
Đại lượng x1.x2....xn được gọi là trung bình cộng của các số x1, x2,..., xn
III. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức
1. Biến đổi biểu thức
- Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số.
- Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Cho hai số a, b không âm ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
3. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
|a| + |b| ≥ |a + b|
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích a, b ≥ 0
IV. Ví dụ bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Hướng dẫn giải
a. Điều kiện xác định
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0
b. Điều kiện xác định
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Hướng dẫn giải
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải:
Ví dụ 4: Cho biểu thức
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9√x
Lời giải:
Ví dụ 5:
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Lời giải:
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng dẫn:
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 4, đạt được khi x = 1
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Hướng dẫn:
Dấu bằng xảy ra khi 3x - 1 = 0 ⇔ x = 1/3.
Vậy giá trị lớn nhất của A là √8, đạt được khi x = 1/3.
Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
Lời giải:
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
Lời giải: